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Algèbre. Théorie des groupes.

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Introduction à l’analyse.

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Bruno AEBISCHER,

Analyse. Fonctions de plusieurs variables & géométrie analytique.

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Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne & introduction à la géométrie projective.

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Analyse. CAPES externe et Agrégation interne.

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Introduction à la relativité. Principes fondamentaux & conséquences physiques.

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Géomorphologie. Relations tectonique, climat, érosion.

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Géochimie marine. Circulation océanique, cycle du carbone et changement climatique.

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et des dizaines d’autres livres de référence, d’étude ou de culture

en mathématiques, informatique et autres spécialités scientifiques

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En couverture : Escalier en double spirale de Giuseppe Momo, Vatican.

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Composition et mise en page de l’auteur

Couverture : Linda Skoropad/Prescricom

ISBN 978-2-311-00273-7

Registre de l’éditeur : 595

La loi du 11 mars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions

strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses et les

courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le

consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1 de l’article 40). Cette représentation ou

reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du

Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au Centre français d’exploitation du

droit de copie : 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70

Vuibert – novembre 2011 – 5, allée de la 2 DB 75015 Paris

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Mathématiques

pour l’économie

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Analyse et algèbre

Cours & exercices corrigés

LICENCE 1

SCIENCES DE GESTION

SCIENCES ÉCONOMIQUES

INFORMATIQUE APPLIQUÉE À LA GESTION

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Table des matières

Introduction

VII

Analyse

Les fonctions numériques d’une variable réelle

.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.6 Diﬀérentielle et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

.7 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Développements limités

.1 Développements limités au voisinage de zéro . . . . . . . . . . . . . . . 29

.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 32

.3 Fonctions équivalentes, déﬁnition et opérations . . . . . . . . . . . . . 37

.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Fonctions réelles à deux variables

.1 Généralités et déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

.2 Fonctions réelles à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Optimisation et recherche d’extremums de deux variables

.1 Cas de recherche sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

.2 Cas de recherche sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Table des matières

Intégration

.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

.2 Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Algèbre

Polynômes et fractions rationnelles

.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Espaces vectoriels

.1 L’espace vectoriel R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 84

.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Applications linéaires, matrices

.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Systèmes d’équations linéaires, déterminant

111

.1 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

.2 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

0 Diagonalisation d’une matrice carrée

125

0.1 Élément propre d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

0.2 Diagonalisation d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

0.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Corrigés

133

135

147

153

161

169

Corrigés du chapitre 1

Corrigés du chapitre 2

Corrigés du chapitre 3

Corrigés du chapitre 4

Corrigés du chapitre 5

Introduction

L’ouvrage

Le but de ce cours est d’introduire de façon simple et élémentaire les techniques et les

résultats mathématiques de bases en algèbre et en analyse que l’étudiant en première

année de SG (Sciences de Gestion), SE (Sciences Économique), et IAG (Informatique

Appliquée à la Gestion) doit maîtriser et qu’il pourra réutiliser dans d’autres cours

d’enseignement. Il ne s’agit pas de démontrer les théorèmes ou les résultats énoncés

mais d’expliquer leurs utilisations et leurs règles de calcul.

À la ﬁn de chaque chapitre, de nombreux exercices corrigés, permettant aux étudiants

de tester leurs connaissances, complètent et illustrent le cours.

L’auteur

Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d’algèbre ma-

tricielle rapide. Chercheur à l’école nationale d’ingénieurs de Tunis (ENIT-LAMSIN)

et à l’université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l’institut

supérieur des arts du multimédia de la Manouba (université de la Manouba, Tunisie)

et l’université libre de tunis. Il a été élu directeur de département des méthodes

quantitatives et aussi enseignant à la faculté des Sciences juridiques, économiques et

de gestion de Jendouba (Tunisie).

Le public

Étudiants en première année des Licences de Sciences de Gestion, Sciences Économique

et Informatique Appliquée à la Gestion (hors prépas hec).

CHAPITRE 1

Les fonctions numériques d’une variable réelle

Soit

f : Df −→

une fonction numérique d’une variable réelle telle que Df

est le domaine de déﬁnition de f.

{x ∈ R / f(x) a un sens}

.1 Limite d’une fonction

Déﬁnition 1.1.1 On dit qu’une fonction

, déﬁnie au voisinage de x0 ∈ R, sauf

peut être en x0, admet une limite l ∈ R quand

tend vers x0 et on écrit :

lim f (x) = l

x−→x0

si ∀ꢀ > 0, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que |x − x0| < η alors |f (x) − l| < ꢀ.

Remarque 1.1.1 Une fonction peut avoir une limite quand

tend vers x0 sans qu’elle

soit déﬁnie en x0.

Remarque 1.1.2 Dire que

x tend vers x0 c’est-à-dire que x s’approche de x0 sans

jamais l’atteindre.

Remarque 1.1.3 On déﬁnit la limite à droite et à gauche de f comme suit :

. Limite à droite :

lim f (x) = l si ∀ꢀ > 0, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que 0 < x−x0 < η alors |f (x) − l| < ꢀ,

x−→x0

x>x0

et on note

lim f (x) = l.

x−→x

Un voisinage d’un point x0 ∈ R est un intervalle ouvert qui contient ce point.

Chapitre 1. Les fonctions numériques d’une variable réelle

. Limite à gauche :

lim f (x) = l si ∀ꢀ > 0, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que 0 < x0−x < η alors |f (x) − l| < ꢀ,

x−→x0

x<x0

et on note

lim f (x) = l.

−

x−→x

Proposition 1.1.1 La limite d’une fonction, lorsqu’elle existe, est unique.

Preuve. Supposons que

lim f (x) = l et lim f (x) = l avec l

x−→x0

Ainsi, ∀ꢀ >

, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que |x − x0| < η alors |f (x) − l| < ꢀ et

∀

ꢀ >

, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que |x − x0| < η alors |f (x) − l | < ꢀ . On a

l − l |

|l − f (x) + f (x) − l | ≤ |f (x) − l|

|f (x) − l |. Alors, |l − l | < ꢀ + ꢀ .

<ꢀ

{z }

}

ꢀ

Pour ꢀ << , on peut écrire |l − l | < ꢀ . Donc, l = l . Ce qui est absurde.

ꢀ

1.1.1 Opérations sur les limites

Supposons que lim f (x) = l1 et lim g (x) = l2 et soit λ ∈ R, alors on a :

x−→x0

lim (f + g) (x) = l1 + l2

x−→x0

lim (f × g) (x) = l1 × l2

x−→x0

lim |f (x)| = |l1|

x−→x0

lim (λf) (x) = λl1

x−→x0

ꢀ

ꢁ

(x) = , (l2 6= 0)

lim

x−→x0

. Si f ≥ g au voisinage de x0 alors l1 ≥ l2.

Exemple 1.1.1 Vériﬁer que

x − 1

lim

= 2.

x−→ 2x − 1

En eﬀet, il suﬃt de simpliﬁer : ⁴

x −1

(2x−1)(2x+1)

2x−1

= 2x + 1.

x−1

1.1.2 Formes indéterminées

Les quatres formes indéterminées les plus connues sont :

∞

, ∞ − ∞, 0 × ∞.

D’autres formes indéterminées seront exposées dans le chapitre suivant.

Négligeable.

.2 Fonctions continues

Exemple 1.1.2 Trouver que

√

lim

x + x + x − x =

x−→+∞

√

En eﬀet, multipliant x + x + x − x par son conjugué. On a

ꢂ

ꢃ ꢂ

ꢃ

√

x + x + x −

x + x + x +

√

x + x + x − x =

√

x + x + x +

√

x + x + x − x

x + x + x +

x +

= q

√

x + x + x +

√

Ensuite, mettant x en facteur :

ꢀ

ꢁ

√

1 +

√

x + x + x − x =

ꢂr

ꢃ.

√

1 +

+ _x√ + 1

ꢂ

ꢃ

√

Ainsi, quand x −→ +∞,

x + x + x − x −→ .

Exercice 1.1.1 Montrer que

sin (3x) − 3 sin (x)

= −1.

lim

x−→0 tan (2x) − sin (2x)

.2 Fonctions continues

Soit

f : Df −→

et x0 ∈ R.

Déﬁnition 1.2.1 On dit que f est continue en x0 ∈ R si :

. f est déﬁnie en x0 (x0 ∈ Df) ,

lim f (x) = f (x0) .

x−→x0

Remarque 1.2.1

On dit que f est continue sur une partie A ⊆ Df si f est continue en tout point

de A.

Soient

deux fonctions continues en x0 et soit

un réel alors (f + g) ,

(

f × g) , (λf) , (g (x0)

Chapitre 1. Les fonctions numériques d’une variable réelle

Exemple 1.2.1 1. Étudier la continuité de la fonction

f : R −→ R déﬁnie comme

suit :

ꢄ

si x = 0

f (x) =

sin si x

. Étudier la continuité de la fonction g : R −→ R déﬁnie comme suit :

ꢄ

si x = 0

g (x) =

sin x

si x

1.2.1 Propriétés des fonctions continues

Théorème 1.2.1 Soit I = [a, b] , a < b, un intervalle fermé borné sur R. Toute fonction

continue sur I est bornée et atteint ses bornes.

Théorème 1.2.2 (des valeurs intermédiaires) Soit

et deux points de tels que f (a) f (b) <

et b tel que f (c) = 0.

I−→ R continue sur I et soient

Alors, il existe compris entre a

Exemple 1.2.2 Montrer que

+ 1 = 0 admet une solution unique comprise

entre −1 et 0.

Théorème 1.2.3 L’image d’un intervalle de

valle de R.

R par une fonction continue est un inter-

Déﬁnition 1.2.2 (Prolongement par continuité) soit

I−→ R une fonction et soit

a ∈/ I. Si

admet une limite en a, alors la fonction

I ∪{a} −→ R déﬁnie par

ꢄ

f (x) si x 6= a

l si x = a

f (x) =

est continue sur I ∪ {a} . Cette fonction est appelée prolongement de

continuité en a.

par

sin x

Exemple 1.2.3 Soit f (x) =

. Puisque limx−→0

= 1. On peut vériﬁer que

ꢄ

f (x) si x 6= 0

si x = 0

f (x) =

est le prolongement par continuité de f en 0.

1.2.2 Théorème des fonctions réciproques

Soit I un intervalle de R.

Théorème 1.2.4 Toute fonction

f : I−→ R, continue et strictement monotone admet

−1

une fonction réciproque, notée f , qui est continue, strictement monotone et

de même sens de variation que f.

−

Remarque 1.2.2 Le graphe de

s’obtient à partir de celui de

f par la symétrie par

rapport à la première bissectrice.

.3 Dérivabilité

•

Exemples de fonctions réciproques :

Les fonctions Exponentielle et Logarithme

Il existe une fonction notée e (ou exp) déﬁnie sur R comme suit :

e :

−→

∗

continue et strictement croissante sur

avec e(

) =

, donc il existe une fonction

notée log telle que :

log : ]0, +∞[ −→

∗

vériﬁant log(e ) = x ∀x ∈ R et exp(log(t)) = t, ∀t ∈ R .

Exercice 1.2.1 Étudier la continuité en 0 de la fonction f : R −→ R déﬁnie par :

ꢅ ꢆ

sin

f (x) = _e₁

si x 6= 0 et f (0) = 0.

+ 1

.3 Dérivabilité

Soit f : Df ⊆ R −→ R une fonction continue en x0 ∈ Df.

Déﬁnition 1.3.1 On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si la fonction

f (x) − f (x0)

7− →

x − x0

admet une limite ﬁnie quand

tend vers x0. Lorsque cette limite existe et ﬁnie,

elle sera notée f (x0) et elle est appelée la dérivée de f en x0.

1.3.1 Opérations sur les fonctions dérivables

Soit

f : Df ⊆ R −→ R et g : Dg ⊆ R −→ R deux fonctions dérivables en x0 ∈ Df ∩Dg,

et soit λ ∈ R.

Théorème 1.3.1

. (f + g) est dérivable en x0 et on a (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0).

. (λf) est dérivable en x0 et on a (λf) (x0) = λf (x0).

× g⁰

(

f × g) est dérivable en x0 et on a (f × g) (x0) =

(

)

× g

(

x0) +

(

)

(x0).

. Si g(x0)

= 0, est dérivable en x0 et on a

f (x0) × g(x0) − f(x0) × g (x0)

(

f × g) (x0) =

g (x0)

5. Si de plus f est dérivable en g(x0), alors (f ◦ g) est dérivable en x0 et on a :

0 0 0

(f ◦ g) (x0) = f (g(x0)) × g (x0).

Exemple 1.3.1 Calculer la dérivée de la fonction

ꢅ

ꢆ

log x + 1

f (x) =

Chapitre 1. Les fonctions numériques d’une variable réelle

1.3.2 Règle de l’Hopital

Soit

deux fonctions dérivables sur un voisinage de x0 avec

(

x0) =

(

x0) = 0 et

g (x0)

6= 0, alors

f (x)

f (x0)

lim

x−→x0 g (x)

g (x )

cos x−1

Exemple 1.3.2 limx−→0

= 0

pour f (x)

cos x − 1 et g (x)

x, on a

(0) =

cos x−1

f (0)

g(0) = 0 et g (0)

= 0.

g (0)

•

Dérivée d’une fonction réciproque

−1

Soit f :]a, b[⊆ R −→ R une fonction continue et strictement monotone, on note f

sa fonction réciproque.

−1

Théorème 1.3.2 Si est dérivable en x0 ∈ ]a, b[ et si

(

)

est dérivable

en y0 = f(x0) et on a :

ꢅ

ꢆ₀

−1

−

(y0) =

f (f (y0))

x 0

Exemple 1.3.3 (e ) =

= e , ∀x ∈ R.

log (e )

1.3.3 Propriétés des fonctions dérivables

Lemme 1.3.1 Soit

une fonction déﬁnie sur un intervalle I ⊆ R. Si

admet un

extrêmum local en x0 ∈ I et si f est dérivable en x0 alors f (x0) = 0.

Remarque 1.3.1 La réciproque est fausse (contre exemple f(x) = x ).

Théorème 1.3.3 (Rolle) Soit f : [a, b] −→ R (a 6= b) continue sur [a, b], dérivable sur

a, b[. Si on a f(a) = f(b) alors ∃c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.

]

Corollaire 1.3.1 (Formule d’égalité des accroissements ﬁnis) Soit f : [a, b] −→ R,

(a 6= b) continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ alors ∃c ∈]a, b[ tel que :

f(b) − f(a)

b − a

f (c) .

Théorème 1.3.4 (Formule d’inégalité des accroissements ﬁnis) Soit f : [a, b] −→ R

= b) continue sur [a, b dérivable sur ]a, b[ et s’il existe deux réels et tels

que ∀x ∈ ]a, b[ , m ≤ f (x) ≤ M alors

(

]

m (b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M (b − a) .

Remarque 1.3.2 ∀x ∈ ]a, b[ , |f (x)| ≤ M alors |f(b) − f(a)| ≤ M (b − a) et plus

généralement,

∀

x, y ∈ [a, b] , |f (x) − f (y)| ≤ M |x − y| .

.4 Fonctions convexes

Déﬁnition 1.4.1 Une fonction

est convexe sur un intervalle

si ∀ (x, y) ∈ I²

et λ ∈ [0, 1] ;

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) .

Remarque 1.4.1 La fonction f est concave si (−f) est convexe.

Géométriquement : f convexe c’est-à-dire quelque soit

deux points de

graphe de f, la droite (AB) est située au "dessus" de l’arc AB.

Remarque 1.4.2 Si

est convexe déﬁnie sur

intervalle de

alors ∀ (x, y) ∈ I², on a

ꢂ

ꢃ

x + y

[f (x) + f (y)] .

≤

Exemple 1.4.1 f (x) = |x| est convexe. En eﬀet, soient x, y ∈ R, λ ∈ [0, 1] ,

f (λx + (1 − λ) y) = |λx + (1 − λ) y|

≤

|λx| + |(1 − λ) y|

λf (x) + (1 − λ) f (y) .

D’où, f est convexe.

Théorème 1.4.1 Si

est deux fois dérivable sur

alors

convexe sur

si et seulement

si ∀ x ∈ I, f (x) ≥ 0.

Exemple 1.4.2 f (x) = x , f (x) = 2x, f (x) = 2 > 0. Alors, f est convexe.

−_x<

Exemple 1.4.3 f (x)

log x, f (x)

, f (x)

Alors, (−f) est convexe.

D’où, f est concave.

.5 Formules de Taylor

.5.1 Dérivée d’ordre n

(

Soit une fonction

dérivée n-ième de f sur I, notée f , comme la dérivée de f

Exemple 1.5.1 f (x)

I−→ R. On pose

et on déﬁnit par récurrence la fonction

(

(n−1)

si elle existe.

n−1

n (n − 1) xⁿ⁻², . . . , f (x)

(n)

x , f (x)

, f (x)

n (n − 1) · · · 1 = n!.

ꢅ

ꢆ

(n)

Exemple 1.5.2 f (x)

Exemple 1.5.3 f (x)

sin x, f (x)

cos x, f (x)

− sin x, . . . , f (x)

sin x + n

(n)

cos x, f (x)

− sin x, f (x)

− cos x, . . . , f (x)

ꢅ

ꢆ

cos x + n

Théorème 1.5.1 (Formule de Leibnitz) Soient f, g deux fonctions

n fois dérivable

sur I alors f × g est n fois dérivable sur I et on a :

p p n−p

C f g .

(

f × g) =

p=0

Remarque 1.5.1 On dit que

On dit que est de classe

est de classe Cⁿsi et seulement si

(n)

(x) est continue.

∞

si elle est indéﬁniment et continûment dérivable.

Chapitre 1. Les fonctions numériques d’une variable réelle

.5.2 Formule de Taylor-Lagrange

Théorème 1.5.2 Soit

une fonction de classe Cⁿsur un intervalle [a, b] de

R et telle

(

n+1)

que f

soit déﬁnie sur ]a, b[ , alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que

n+1

(

b − a)

(b − a)

(n)

(n+1)

(c).

f (b) = f (a) + (b − a) f (a) + · · · +

(a) +

(n + 1)!

}

Partie régulière du développement de Taylor-Lagrange de f

Reste de Lagrange

.5.3 Formule de Taylor-Young

Théorème 1.5.3 Soit

une fonction de classe Cⁿsur un intervalle

contenant x0,

alors ∀x ∈ I, on a

(

x − x0)

(n)

f (x) = f (x0) + (x − x0) f (x0) + · · · +

(x0) + 0 ((x − x0) ) .

}

Quantité négligeable

Corollaire 1.5.1 (Formule de Mac-Laurin) Dans le cas particulier où x0 = 0

obtient la formule de Mac-Laurin suivante :

xⁿ

(n)

f (x) = f (0) + xf (0) + · · · +

(x0) + 0 (x ) .

ꢅ

ꢆ

(n)

Exemple 1.5.4 ∀x ∈ R, e = 1 + x + · · · +

+ o (x ) f (0) = 1 .

Exemple 1.5.5 ∀x ∈ R, sin x est de classe C sur R et on a :

∞

ꢀ

ꢁ

(

(x) = sin x + n

alors f⁽²^k⁾(0) = 0 et f⁽²^k⁺¹⁾(0) = (−1) , k ∈ N. D’où, ∀x ∈ R,

2k+1

ꢅ

ꢆ

2n+1

sin x =

(−1)

+ 0 x

(

2k + 1)!

k=0

2n+1

ꢅ

ꢆ

2n+1

x −

+ · · · + (−1)

+ 0 x

(2n + 1)!

Exemple 1.5.6 ∀x ∈ R, cos x est de classe C^∞sur R et on a :

ꢀ

ꢁ

(

(x) = cos x + n

alors f⁽²^k⁾(0) = (−1) et f

(2k+1)

(0) = 0, k ∈ N. D’où, ∀x ∈ R,

ꢅ

ꢆ

cos x =

(−1)

+ 0 x

(

2k)!

k=0

ꢅ

ꢆ

1 −

+ · · · + (−1)

+ 0 x

(2n)!

.6 Différentielle et approximation

.6 Diﬀérentielle et approximation

Déﬁnition 1.6.1 (Approximation aﬃne) Soit

de classe

au voisinage V (x0). On

déﬁnit l’approximation aﬃne de f au voisinage V (x0) par

f (x0 + h) ' f (x0) + hf (x0)

avec h = x − x0 −→ 0.

{z }

≡

∆x

Déﬁnition 1.6.2 (Variation absolue) La variation absolue de

f entre x0 et x0 + h est

déﬁnie par

∆

f = f (x0 + h) − f (x0) ' f (x0) ∆x.

Exemple 1.6.1 f (x)

log (1 + x) , x0 = 4 et ∆

= 2

∆

f (6) − f (4)

log

−

ꢂ ꢃ

log 5 = log

' ₅× 2 = 0.4.

}

.3364

Déﬁnition 1.6.3 (Variation relative) La variation relative de

entre x0 et x0

est

déﬁnie par

∆

f (x0)

f (x0 + h) − f (x0)

f (x0)

. (exprimée en pourcentage : sans unitée)

Déﬁnition 1.6.4 (Notion du diﬀérentielle) Soit f dérivable au voisinage V (x0) . On

appelle diﬀérentielle de f au voisinage V (x0) , la fonction linéaire

dfx :

−→

7− → dfx (h) = f (x0) .h

Exemple 1.6.2 f (x) = log x, x0 = 1. df1 (h) = f (1) .h = h.

Exemple 1.6.3 f (x) = e , x0 = 1. df1 (h) = f (1) .h = e.h.

Déﬁnition 1.6.5 (Fonction moyenne) On appelle fonction moyenne d’une fonction

positive d’une variable x, la fonction notée fM est déﬁnie par

f (x)

∀

x > 0, fM (x) =

Exemple 1.6.4 On suppose qu’un marchand ﬁxe pour le bien A, les prix suivant :

0 pour une quantité

8 pour deux quantités

5 pour trois quantités

Quel est le prix moyen PM du bien A ?

0 +18 +25

+ 2 + 3

PM =

' 8, 8333 .

Chapitre 1. Les fonctions numériques d’une variable réelle

Exercice 1.6.1 La fonction de production d’une entreprise utilisant le travail "L"

comme seul facteur de la production est donnée par

√

f (x) =

x = production, notée p en économie.

Supposant qu’une entreprise utilise 900 unités pour produire 15 unités.

Quelle sera l’augmentation de la production si l’entreprise décide d’utiliser

une unité de travail supplémentaire.

On suppose que l’entreprise diminue l’eﬀort du travail en passant de 900 à

891 unités. Donner une estimation de la variation de la production qui en

résulte.

Corrigé 1. On a ∆x = 1, x0 = 900. L’augmentation du produit est

∆

f = f (901) − f (900)

√

901 −

900

8.331 × 10⁻' f (900) .∆x =

Une estimation de la variation de la production qui en résulte est une

estimation de f (900) − f (891) , pour ∆x = −9 est

f (900) .∆x =

× (−9) = −0.075.

Déﬁnition 1.6.6 (Notion d’élasticité) L’élasticité est un indicateur qui permet à un

économiste ou gestionnaire d’évaluer l’eﬀet d’une variation de ” ” (variable

variable endogène.

indépendant) sur une variable ”y” (dépendant) : y = f(x),

Ainsi, l’élasticité de f par rapport à x au point x0 est donnée par

f (x0)

ef_/_x(x0) = x0

où f (x0) 6= 0.

f (x0)

2×100

Exemple 1.6.5 f (x) = x , x0 = 100 donc, ef_/_x(x0) = 100 ×

= 2.

100

Remarque 1.6.1 L’élasticité ef_/_xdonne une valeur approchée de la variation relative

de f divisée par la variation relative de x :

∆

f(x0)

ef_/_x(x0) '

∆x

f(x)−f(x0)

x−x0

En eﬀet, f (x0) '

au voisinage V (x0) alors

ꢂ

ꢃ

f (x) − f (x0)

ef_/_x(x0) ' x0 ×

∆

f (x0)

∆f (x0)

f (x0)

∆

.7 Fonctions usuelles

Remarque 1.6.2 Si ef_/_x

0 alors la variation de

: ∆

à un eﬀet négligeable sur la

variation de : ∆f. Si ef

1 alors la variation de

: ∆

à un eﬀet sur la

variation de f : ∆f qui lui est proportionnelle ou équivalente.

Exemple 1.6.6 Pour une fonction de la forme f (x)

α−1

alors

ax , on a f (x)

aαx

ꢂ

ꢃ

α−1

aαx

ef_/_x(x0) = x0 ×

= α.

αx

Application 1.6.1 La loi de demande du coton pour 1914-1929 (d’après H. Schutz)

− 14

est évaluée par la fonction : Q (p) = (0.11)

. Chercher l’élasticité.

On suppose que le prix du coton varie de p0 = 50 à p1 = 51

variation de la demande, puis la calculer numériquement.

Trouver la

Corrigé 1. ef_Q_/_p= − ¹

. La variation de la demande est donnée par :

ꢂ

ꢃ

Q (p1) − Q (p0)

Q (p0)

∆p

p1 − p0

∆

Q =

' ef

= ef_Q_/_p

Q/p

}

.141%

Numériquement,

ꢂ

ꢃ

51 − 50

700

∆

Q ' −

= −

= 0.1428 %.

.7 Fonctions usuelles

1.7.1 Fonctions logarithmes et exponentielles

•

Logarithme népérien

La fonction

7→

est continue sur ]0; +∞[, elle admet une unique primitive qui

s’annule en 1, c’est la fonction x

(voir Chapitre 5).

Déﬁnition 1.7.1 L’unique primitive de la fonction

sur ]0; +∞[ qui s’annule

en 1 est appelée logarithme népérien, elle est notée log ou ln . On a donc

∀

x >

, log (x)

Cette fonction est donc dérivable sur

]0; +∞[ et

log (x) = , elle est donc strictement croissante sur I.

Soit y >

la fonction

et f (x)

en déduit que f (x)

log (1) + c = c, par conséquent on obtient :

log (x)

où

est une constante, on a log (y)

f (1)

Propriété 1.7.1 (fondamentale du logarithme)

∀

x, y > 0, log (xy) = log (x) + log (y) .

Chapitre 1. Les fonctions numériques d’une variable réelle

Conséquence 1.7.1

. Si u est une fonction dérivable qui ne s’annule pas, alors [log (|u|)] =

∗

. ∀x, y ∈ R , log (|xy|) = log (|x|) + log (|y|) .

ꢀ

ꢇ ꢇꢁ

ꢇ ꢇ

∗

. ∀x, y ∈ R , log ꢇ ꢇ = log (|x|) − log (|y|) .

∗

. ∀n ∈ Z , ∀x ∈ R , log (|x |) = n log (|x|) .

Limites du logarithme népérien

log (x)

= 1.

lim log (x) = +∞; lim log (x) = −∞; lim

= 0; lim

x→+∞

x→0+

x→+∞

x→1 x − 1

+∞

log (x)

∞

log (x)

−

∞

Inégalité de convexité ∀x > 0, log (x) ≤ x − 1.

•

Logarithmes de base a

Théorème 1.7.1 Soit

f (xy) f (x)

k log (x) .

]0; +∞[ → R une application dérivable telle que ∀x, y >

f (y) , alors il existe une constante telle que ∀x > , f (x)

Lorsque

= 0 la fonction

est nulle, lorsque

= 0

il existe un unique réel a >

diﬀérent de 1 tel que log (a) = ¹, ce qui donne f (x) =

log(x)

log(a)

∗

Déﬁnition 1.7.2 Soit a ∈ R \ {1} , on appelle logarithme de base a la fonction

log(x)

notée log et déﬁnie sur ]0; +∞[ par log (x) = .

log(a)

Remarque 1.7.1

∗

. ∀x, y ∈ R , log (xy) = log (x) + log (y) .

. log (1) = 0 et log (a) = 1.

On note

l’unique réel strictement positif tel que log (e) = 1

on a alors

log = log ≡ log .

. La fonction log est dérivable et ∀x > 0, log (x) =

x log(a)

. log_a= − log_a.

.7 Fonctions usuelles

•

La fonction exponentielle

La fonction log est strictement croissante sur

]0; +∞[ , elle déﬁnit donc une bijection

ꢈ

ꢉ

de sur

Im (log) , comme elle est continue on a Im (log)

lim log; lim log

+∞

Déﬁnition 1.7.3 La réciproque est appelée fonction exponentielle et notée exp,

elle est déﬁnie par :

exp : R −→ ]0; +∞[

7− → exp (x) = y tel que y > 0 et log (y) = x

Propriété 1.7.2

La fonction exp est strictement croissante sur R et continue, de plus exp (0) = 1

et exp (1) = e.

La fonction log est dérivable sur ]0; +∞[ et sa dérivée ne s’annule pas, donc la

fonction exp est dérivable sur R et exp (x) =

= exp (x) .

log (exp(x))

Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction exp et celle de la fonction

log sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

exp

log

-4

-2

Soit x, y ∈ R, notons

exp (x) et

log (X)

= exp (y) alors et sont dans ]0; +∞[ on

peut donc écrire log (XY )

log (Y ) ce qui donne x + y = log (XY ) , par

conséquent exp (x + y) = XY = exp (x) exp (y) , on peut donc énoncer :

Propriété 1.7.3 (fondamentale de l’exponentielle)

∀

x, y ∈ R, exp (x + y) = exp (x) exp (y) .

Il en découle en particulier que exp (−x) = _e_x_p₍_x₎

Skander Belhaj

Mathématiques pour

l’économie et la gestion

Analyse et algèbre

Constitué d’un cours complet et de 75 exercices corrigés, ce manuel

présente l’ensemble du programme d’algèbre et d’analyse des filières

Sciences de gestion, Sciences économiques et Informatique appliquée à la

gestion. Il introduit de façon simple et pédagogique les techniques et les

résultats des mathématiques de base que les étudiants en première année

de Licence doivent maîtriser.

Sommaire

I. Analyse

II. Algèbre

. Fonctions d’une variable réelle

. Développements limités

1. Polynômes et fractions rationnelles

2. Espaces vectoriels

. Fonctions réelles à deux variables

3. Applications linéaires, matrices

. Optimisation et recherche d’extremums 4. Systèmes d’équations linéaires,

de deux variables

déterminant

. Intégration

5. Diagonalisation d’une matrice carrée

Directeur du département des méthodes quantitatives de la faculté des Sciences juridiques,

économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie), Skander Belhaj est docteur en mathématiques

appliquées et spécialiste d’algèbre matricielle rapide. Chercheur à l’université de Tunis El Manar

(ENIT-LAMSIN) et à l’université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l’institut

supérieur des arts du multimédia de la Manouba (Tunisie) et à l’université libre de Tunis.

ISBN 978-2-311-00273-7

WWW.VUIBERT.FR

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