Martingale pour la finance
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ou juste avant la balise de fermeture --> MARTINGALES POUR LA FINANCE ——– une introduction aux math´ematiques ?nanci`eres ——– Christophe Giraud Cours et Exercices corrig´es.Table des mati`eres I Le Cours 7 0 Introduction 8 0.1 Les produits d´eriv´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.2 L’objet des math´ematiques ?nanci`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 0.3 Principe de la couverture des produits d´eriv´es . . . . . . . . . . . . . . . . 12 0.4 Mod`ele `a un pas - deux ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Esp´erance conditionnelle 17 1.1 Conditionnement par rapport `a un ´ev´enement . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 Conditionnement par rapport `a une variable al´eatoire . . . . . . . . 19 1.2.2 Conditionnement par plusieurs variables al´eatoires . . . . . . . . . . 21 1.3 Cadre `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Caract´erisation et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.1 Jeu t´el´evis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.2 Un petit calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.3 Un autre calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.4 Encore un calcul ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.5 Marche al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.6 *Somme et produit al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5.7 *Une formule g´en´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5.8 A propos de l’in´egalit´e de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5.9 Esp´erance conditionnelle et meilleure approximation Fn-mesurable de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.10 *Coh´erence des di?´erentes d´e?nitions / de la caract´erisation . . . . 32 2 Martingales 34 2.1 Exemple fondateur : un joueur au casino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Temps d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Information Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1TABLE DES MATIERES ` 2 2.2.2 Temps d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 D´e?nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 Th´eor`eme d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.1 Une autre formulation de la propri´et´e de martingale . . . . . . . . . 45 2.4.2 Pour s’entraˆiner ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.3 Deux formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.4 Temps d’atteinte d’une barri`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.5 La pi`ece truqu´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.6 D´ecomposition de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.7 *G´en´ealogie de Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.8 *Premi`ere in´egalit´e maximale (Doob) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.9 *Seconde in´egalit´e maximale (Doob) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.10 *Identit´e de Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.11 *Martingales de carr´e int´egrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 March´e Bond-Stock 50 3.1 Le march´e Bond-Stock (ou march´e B-S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.1 Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ´ 3.1.2 Probabilit´es risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.3 Portefeuilles auto?nanc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Arbitrage et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Compl´etude du march´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Le lemme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5.1 Variation d’un portefeuille auto?nanc´e . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5.2 Valeur r´eactualis´ee d’un portefeuille auto?nanc´e . . . . . . . . . . . 59 3.5.3 Valeur r´eactualis´ee d’un portefeuille auto?nanc´e (bis) . . . . . . . . 59 3.5.4 *Changement de probabilit´e : le lemme de Girsanov . . . . . . . . . 60 3.5.5 D´etermination d’une probabilit´e risque-neutre . . . . . . . . . . . . 60 4 Couverture des options europ´eennes 62 4.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Prix d’une option dans un march´e complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 Et dans un march´e incomplet ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4.1 Un calcul de prix d’option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4.2 Un autre calcul de prix d’option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4.3 Relation Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.4 Mod`ele binomial de Cox-Ross-Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.5 *Mod`eles de Black-Scholes et Merton (non corrig´e) . . . . . . . . . 67 4.4.6 Probl`eme : Option Margrabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68TABLE DES MATIERES ` 3 5 Couverture des options am´ericaines 70 5.1 Probl´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.2 Prix d’une option am´ericaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3 Le principe de programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.4 D´ecomposition de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.5 Preuve du Th´eor`eme 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.6.1 Evaluation d’un prix d’option sans programmation dynamique . . . 75 5.6.2 Calcul du prix d’un call am´ericain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6.3 Option russe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6.4 *Preuve du Principe de Programmation Dynamique . . . . . . . . . 77 6 Mouvement brownien 78 6.1 Processus en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.2 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.1 Loi Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.2 D´e?nition du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.3 Propri´et´es du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3 Martingales en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.4.1 Propri´et´es de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.4.2 Variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7 Calcul d’Itˆo 83 7.1 Probl´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.2 Int´egrale d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.3 Processus d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.4 Formule de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.4.1 Exponentielle stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.4.2 Formule de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.5.1 Avec la formule d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.5.2 De l’exponentielle stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.5.3 Avec Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.5.4 *De la formule de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.5.5 *Fonctions d’´echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.5.6 Formule de Cameron-Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8 Mod`ele de Black et Scholes 92 8.1 Mod`ele de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8.1.1 Evolution du march´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 ´ 8.1.2 Portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.1.3 Probabilit´e risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TABLE DES MATIERES ` 4 8.2 Couverture des options europ´eennes dans le mod`ele Black-Scholes . . . . . 94 8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.3.1 La formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.3.2 L’´equation aux d´eriv´ees partielles de Black et Scholes . . . . . . . . 99 8.3.3 La valeur au temps t du portefeuille ?* . . . . . . . . . . . . . . . . 99 A Rappels de probabilit´es 100 A.1 Ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 ´ A.2 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 A.3 Convergence de variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 B Construction de l’int´egrale d’Itˆo 104 II Les Corrig´es 108 9 Exercices du Chapitre 1 109 10 Exercices du Chapitre 2 116 11 Exercices du Chapitre 3 126 12 Exercices du Chapitre 4 130 13 Exercices du Chapitre 5 136 14 Exercices du Chapitre 6 140 15 Exercices du Chapitre 7 143 16 Exercices du Chapitre 8 147Pr´eface Ce livre est con¸cu comme une premi`ere introduction aux raisonnements et aux outils math´ematiques utilis´es en ?nance pour l’´evaluation et la couverture des produits d´eriv´es. Tant par son style que par son contenu, il s’adresse `a un lecteur utilisateur d’outils math´ematiques plutˆot que math´ematicien. Les publics vis´es sont les ´el`eves des grandes ´ecoles et les ´etudiants en master MASS, ?nance ou ing´enierie math´ematique. Cependant, il int´eressera aussi les ´etudiants en math´ematiques ou en ´economie soucieux d’´elargir leur champ de connaissances. La th´eorie de la couverture des produits d´eriv´es en ?nance est bas´ee sur des outils math´ematiques sophistiqu´es : processus stochastiques, calcul d’Itˆo, etc. Toute introduction `a cette th´eorie se trouve confront´ee au dilemme soit d’exposer rigoureusement la th´eorie en s’adressant (exclusivement) `a des math´ematiciens, soit de s’adresser au plus grand nombre en esquivant les math´ematiques sous-jacentes. Cet ouvrage, accessible `a toute personne ayant suivi un cours de base en probabilit´es, propose une introduction conjointe `a la th´eorie de la couverture des produits d´eriv´es et aux math´ematiques sur lesquels elle est fond´ee. Il est con¸cu comme un cours de math´ematiques pour la ?nance : il ne vise donc pas `a construire une structure parfaitement rigoureuse et coh´erente, mais plutˆot `a familiariser le lecteur avec divers outils math´ematiques utilis´es en ?nance. L’objectif est d’apprendre `a mener `a terme un calcul impliquant des martingales ou le calcul d’Itˆo, plutˆot que d’exposer la subtile th´eorie de ces objets. Ce point de vue nous a conduit `a donner une pr´esentation intuitive et simpli?´ee de certaines notions (mesurabilit´e, int´egrale d’Itˆo) quitte `a sacri?er un peu de rigueur `a la clart´e d’exposition. Cependant, tous les r´esultats ´enonc´es sont exacts et par soucis de compl´etude, les conditions techniques qui assurent leur validit´e (telles que mesurable ou int´egrable) sont indiqu´ees entre parenth`eses, dans une police de caract`eres de taille r´eduite. L’int´egralit´e du livre est bas´ee sur les cours de Calcul stochastique pour la ?nance donn´es dans le cadre des masters MASS et math´ematiques appliqu´ees de l’universit´e de Nice - Sophia Antipolis ainsi que du master IMAMIS de U.P. Manila. Apr`es une br`eve introduction aux produits d´eriv´es et `a la probl´ematique du cours, les deux premiers chapitres pr´esentent deux concepts importants en math´ematiques ?nanci`eres : l’esp´erance conditionnelle et les martingales. Les trois chapitres suivants traitent de l’´evaluation et de la couverture d’options dans des mod`eles probabilistes discrets. Les chapitres 6 et 7 sont consacr´es au mouvement brownien et au calcul d’Itˆo qui permettent d’analyser le mod`ele de Black et Scholes abord´e au chapitre 8. La mise en pratique ´etant indispensable `a l’as- 5TABLE DES MATIERES ` 6 similation d’un cours, chaque chapitre se conclut par une s´erie d’exercices. Ceux `a vis´ee un peu plus th´eorique ou n´ecessitant un peu plus d’aisance en math´ematiques sont rep´er´es par une ´etoile *. Vous trouverez les corrig´es de chaque exercice `a la ?n de l’ouvrage, class´es par chapitre. Au risque de radoter des banalit´es, nous rappelons que lire le corrig´e d’un exercice sans l’avoir cherch´e un certain temps / tent´e di?´erentes solutions / ´ecrit des formules (erron´ees ou non), ne sert `a peu pr`es `a rien. Mieux vaut chercher un seul exercice que de lire tous les corrig´es. Il nous semble que commettre des erreurs, puis les comprendre est une ´etape primordiale de l’apprentissage. Con¸cu comme une premi`ere introduction aux math´ematiques ?nanci`eres, ce livre ne requiert comme pr´erequis qu’un cours de base en probabilit´es (de niveau universitaire). Pour assister le lecteur, l’annexe A fournit un rappel des principaux r´esultats qui lui seront utiles. La contrepartie de la simplicit´e de ce cours est son insu?sance pour devenir ”sp´ecialiste” en math´ematiques ?nanci`eres. La lecture du petit livre de Chabardes & Delcaux [2] ou du gros tome (classique) de Hull [4] vous permettra d’en apprendre bien plus sur les produits d´eriv´es. Pour parfaire votre apprentissage du calcul stochastique, vous pouvez vous tourner vers l’ouvrage tr`es p´edagogique d’Oksendal [8] ou aborder ceux (beaucoup plus complets et ardus) de Karatzas & Shreve [5] ou de Revuz & Yor [10]. En?n, pour approfondir vos connaissance en math´ematiques ?nanci`eres, le cours de Lamberton & Lapeyre [6] est incontournable, ainsi que l’excellent ouvrage de Demange & Rocher [3]. Ce livre a ´et´e en partie r´edig´e alors que j’´etais invit´e `a HEC Montr´eal. Je tiens `a remercier tr`es chaleureusement le d´epartement de math´ematiques et en particulier Bruno R´emillard pour leur accueil. Je souhaite aussi remercier Philippe Dumont pour m’avoir transmis une partie de ses notes de cours et Nicolas Rousseau pour ses commentaires et m’avoir encourag´e `a r´ediger cet ouvrage. En?n, mes plus profonds remerciements vont `a Dominique Charland pour son soutien, sa patience et ses illustrations.Premi`ere partie Le Cours 7Chapitre 0 Introduction L’objet de ce cours est de pr´esenter les outils math´ematiques de bases utilis´es pour l’´evaluation et la couverture des produits d´eriv´es. Les deux premiers chapitres introduisent deux concepts fondamentaux pour la suite : l’esp´erance conditionnelle et les martingales. Les trois chapitres suivants sont consacr´es `a la couverture et la d´etermination du prix d’une option dans des mod`eles discrets. En?n, les chapitres 6 et 7 apportent les outils probabilistes n´ecessaires (mouvement brownien, calcul d’Itˆo) `a l’´etude du mod`ele de Black et Scholes (Chapitre 8). —————— Dans ce chapitre introductif, vous trouverez une br`eve description de quelques produits d´eriv´es (option d’achat europ´eenne, am´ericaine, etc), une pr´esentation de la probl´ematique du cours et une initiation aux m´ethodes des math´ematiques ?nanci`eres sur un exemple tr`es simple : le mod`ele `a ”un pas - deux ´etats” 0.1 Les produits d´eriv´es Pour mieux comprendre l’objet de ce cours, commen¸cons par une pr´esentation sch´ematique des produits ?nanciers. On distingue les produits d´eriv´es, des titres de base. – Les titres de base : ce sont des titres 1 tels que les actions 2 (shares / stock) ou les obligations 3 (bond ). 1 Instrument n´egociable, cot´e ou susceptible de l’ˆetre, repr´esentant selon le cas une part du capital social de l’´emetteur (action ou part), une part d’un emprunt `a long terme ´emis par une soci´et´e ou une collectivit´e publique (obligation), un droit de souscrire une valeur de l’´emetteur (bon ou droit de souscription), ou encore une option ou un contrat `a terme n´egociable sur une marchandise, sur une valeur ou sur un autre instrument ?nancier (Source : grand dictionnaire terminologique). 2 Titre cessible et n´egociable, nominatif ou au porteur, repr´esentant une participation au capital social d’une soci´et´e par actions, auquel sont attach´es di?´erents droits d´e?nis dans la l´egislation ou les statuts de la soci´et´e (Source : grand dictionnaire terminologique). 3 Titre d’emprunt collectif remis par une soci´et´e ou une collectivit´e publique `a ceux qui lui prˆetent des capitaux pour r´epondre `a une demande d’emprunt `a long terme (Source : grand dictionnaire terminologique). 8CHAPITRE 0. INTRODUCTION 9 – Les produits d´eriv´es : ce sont aussi des titres, mais ils ont la particularit´e que leur valeur d´epend du cours d’un titre de base 4 , appel´e actif sous-jacent ou simplement sousjacent. Les produits d´eriv´es sont des produits ”d’assurance” qui permettent de r´eduire ou d’´eliminer certains risques ?nanciers (li´es aux ?uctuations des taux de change, aux ?uctuations du cours des mati`eres premi`eres, etc), mais qui peuvent aussi ˆetre utilis´es `a des ?ns sp´eculatives. Citons deux march´es importants en France o`u se n´egocient des produits d´eriv´es : le MATIF (March´e `a Terme International de France) et le MONEP (March´e des Options N´egociables de Paris). Exemples de produits d´eriv´es Certains agents ?nanciers ou industriels peuvent souhaiter transf´erer certains risques ?- nanciers, soit par choix commercial, soit parce qu’ils n’entrent pas dans le cadre de leurs comp´etences, soit parce qu’il est moins coˆuteux de les faire supporter par un interm´ediaire sp´ecialis´e. Exemples : 1. Une soci´et´e a´eronautique europ´eenne tient sa comptabilit´e en euros et signe ses contrats en dollars, payables `a la livraison. Entre la signature du contrat et la livraison le taux de change euro/dollar va ?uctuer. L’entreprise est donc soumise `a un risque de change. Si elle ne souhaite pas l’assumer, elle va chercher sur le march´e des changes `a le faire supporter par une soci´et´e sp´ecialis´ee. 2. Le cours du cuivre est tr`es ?uctuant. Une mine de cuivre souhaite se pr´emunir contre ces variations de cours. Elle va chercher un contrat qui lui permettra `a une certaine ´ech´eance de vendre son cuivre `a un prix minimal K. Ce contrat s’appelle une option de vente (voir ci-dessous). Pour ´eliminer ce type de risque, les produits ?nanciers usuels sont les options d’achat et de vente. Ce sont des produits d´eriv´es classiques. D´e?nition - Option d’achat europ´eenne - (european call) Contrat qui donne `a son d´etenteur (ou acheteur) le droit mais non l’obligation d’acheter un actif (tel qu’une action, un baril de p´etrole, etc) `a une date N (l’´ech´eance) au prix K, dit prix d’exercice (strike), ?x´e `a l’avance. Ce contrat a un prix C (la prime). Si on note Sn le cours de l’actif sous-jacent au temps n, il peut se produire deux cas de ?gure `a l’´ech´eance N : 4 tel que le cours d’une action, le prix d’une marchandise, un cours de change, un indice de prix, etcCHAPITRE 0. INTRODUCTION 10 gain/perte à l’échéance S - C N K Fig. 1 – Gain/perte d’un acheteur d’une option d’achat europ´eenne – soit SN < K : le d´etenteur (ou acheteur) de l’option a le droit d’acheter au prix K un actif qu’il pourrait acheter moins cher sur le march´e. Ce droit n’a aucun int´erˆet. Il ne l’exerce donc pas et il ne se passe rien. – soit SN = K : le d´etenteur de l’option d’achat peut acheter l’actif moins cher que sur le march´e, ce qu’il fait. Le vendeur de l’option doit donc acheter l’actif au prix SN et le revendre au prix K `a l’acheteur. Cela revient `a payer SN - K au d´etenteur de l’option d’achat. En conclusion : au temps n = 0 l’acheteur paie C au vendeur de l’option d’achat. Au temps N, il re¸coit le maximum de SN - K et 0, not´e (SN - K)+. La Figure 1 repr´esente le gain (ou la perte) ?nal du d´etenteur d’une option d’achat europ´eenne en fonction de la valeur SN de l’actif sous-jacent `a l’´ech´eance. —————— On appelle fonction de paiement (payo? ) la quantit´e d’argent que re¸coit le d´etenteur d’une option `a l’´ech´eance. Dans le cas d’une option d’achat europ´eenne, la fonction de paiement est f = (SN - K)+. D´e?nition - Option de vente europ´eenne - (european put) Contrat qui donne `a son d´etenteur le droit mais non l’obligation de vendre un actif `a une date N (l’´ech´eance) au prix K ?x´e `a l’avance. Ce contrat a un prix C. Dans ce cas la fonction de paiement est f = (K - SN )+. La Figure 2 trace le gain ?nal du d´etenteur d’une option de vente europ´eenne en fonction de la valeur SN de l’actif sous-jacent `a l’´ech´eance.CHAPITRE 0. INTRODUCTION 11 gain/perte à l’échéance S - C N K Fig. 2 – Gain/perte d’un acheteur d’une option de vente europ´eenne D´e?nition - Option d’achat (resp. vente) am´ericaine - (american call / put) Contrat qui donne `a son d´etenteur le droit mais non l’obligation d’acheter (resp. vendre) un actif `a n’importe quelle date avant la date N (l’´ech´eance) au prix K ?x´e `a l’avance. Ce contrat a un prix C. Il existe bien d’autres types d’options, appel´ees options exotiques. Par exemple l’option d’achat Collar a pour fonction de paiement f = min(max(K1, SN ), K2), celle de Boston f = (SN - K1)+ - (K2 - K1), avec K1 < K2, etc. Nous recommandons au lecteur d´esireux de mieux connaˆitre les produits d´eriv´es, le petit livre de Chabardes et Delcaux [2] ou le gros tome de Hull [4]. —————— Remarque : Nous avons soulign´e l’usage des options comme produit d’assurance. Elles peuvent aussi ˆetre utilis´ees comme produit de sp´eculation `a fort potentiel, mais aussi `a fort risque. Voyons cela sur un exemple. Une action S cˆote aujourd’hui 100 Euros. Vous pressentez une hausse du cours de cette action dans le mois `a venir et vous avez 1500 Euros `a investir. Une premi`ere possibilit´e est d’acheter 15 actions. Si dans un mois le cours est pass´e `a 110 Euros (comme vous l’aviez anticip´e), vous avez gagn´e 15 × (110 - 100) = 150 Euros. A contrario, si le cours passe `a 90 Euros, vous avez perdu 150 Euros. Une alternative est d’investir dans des options d’achat europ´eennes plutˆot que dans des actions. Supposons qu’une option d’achat europ´eenne d’un mois et de prix d’exercice 95 coˆute 7.5 Euros (voir l’exercice `a la ?n du chapitre). Vous pouvez acheter 200 options avec vos 1500 Euros. Si le cours passe `a 110 Euros, vous exercez votre droit et percevez 200 × (110 - 95) = 3000 Euros, d’o`u un b´en´e?ce de 3000 - 1500 = 1500 Euros. Par contre, si le cours passe `a 90 Euros, vous ne percevez rien et vous avez perdu vos 1500 Eu-CHAPITRE 0. INTRODUCTION 12 ros investis. Pour un usage sp´eculatif, les produits d´eriv´es permettent donc d’augmenter substantiellement les gains potentiels mais aussi les pertes par un ”e?et de levier”. 0.2 L’objet des math´ematiques ?nanci`eres L’institution (une banque) qui vend des produits d´eriv´es est confront´ee `a deux questions : 1. Quel est le prix ”´equitable” C d’un produit d´eriv´e ? c’est le probl`eme du calcul du prix du produit d´eriv´e (la prime). 2. Comment g´erer la prime re¸cue (au temps 0) de telle sorte qu’`a l’´ech´eance N l’institution puisse faire face `a son engagement (c’est `a dire verser la fonction de paiement f au client) ? C’est le probl`eme de la couverture du produit d´eriv´e. L’objet essentiel des math´ematiques ?nanci`eres est de r´epondre `a ses deux questions. Nous soulignons en particulier que le probl`eme est bien ”comment g´erer les produits d´eriv´es ?” et non pas ”comment sp´eculer sur les march´es ?nanciers ?”. Pour r´epondre `a ces deux questions, la premi`ere ´etape consiste `a mod´eliser les march´es. L’avenir ´etant incertain, ces mod`eles sont de type probabilistes. En e?et, le cours du sousjacent d’un produit d´eriv´e ?uctue al´eatoirement au cours du temps ; il sera mod´elis´e par un processus stochastique 5 . Par exemple, le c´el`ebre mod`ele de Black et Scholes 6 d´ecrit l’´evolution de l’actif sous-jacent par un mouvement brownien g´eom´etrique (voir le Chapitre 8). Une fois le march´e mod´elis´e, il faut r´epondre aux deux questions pr´ec´edentes. Plus le mod`ele est complexe, plus son analyse est di?cile. Dans ce cours, nous consid´ererons deux mod`eles simples de march´e : le mod`ele discret et le mod`ele de Black et Scholes. Nous verrons comment calculer le prix d’une option et la couvrir sous diverses hypoth`eses simpli?catrices, telles que – l’absence de coˆuts de transaction (pour l’achat ou la vente d’un titre), – l’absence de dividende sur les titres, – la possibilit´e d’emprunt illimit´e, – l’existence d’acheteurs et de vendeurs pour toute quantit´e et tout type de produits ?nanciers (march´e liquide). Les outils math´ematiques utilis´es seront les martingales introduites au Chapitre 2 et le calcul d’Itˆo, pr´esent´e au Chapitre 7. 0.3 Principe de la couverture des produits d´eriv´es Le principe de la couverture du risque des produits d´eriv´es di?`ere fondamentalement de celui de la couverture du risque d’une assurance classique (contre le vol, le feu, etc). Pour faire face `a ses obligations, un assureur classique vend beaucoup de contrats et compte sur le fait que la probabilit´e qu’un trop grand nombre de sinistres aient lieu simultan´ement 5On appelle processus stochastique une ”valeur” qui ´evolue al´eatoirement au cours du temps 6 prix Nobel d’´economie en 1997 avec Merton.CHAPITRE 0. INTRODUCTION 13 est su?samment faible. Cette strat´egie de couverture du risque, s’appelle ”couverture du risque par diversi?cation”. Une telle strat´egie de couverture n’est pas ad´equate pour les produits d´eriv´es (entre autre `a cause de la forte corr´elation entre les cours des di?´erents produits ?nanciers). La banque doit donc ´eliminer le risque sur un seul contrat. Le principe est le suivant. Consid´erons une option d’achat europ´eenne. La banque va utiliser la prime C ainsi qu’un emprunt pour acheter un peu de sous-jacent S. On dit qu’elle se constitue un portefeuille. Au cours du temps, elle va faire varier la quantit´e de sous-jacent dans son portefeuille, de telle sorte qu’`a l’´ech´eance elle dispose d’une richesse (SN - K)+. Dans l’exemple suivant, nous mettons en oeuvre ce principe dans le mod`ele le plus simple possible : le mod`ele `a un pas - deux ´etats. Nous mettons `a pro?t cet exemple pour introduire de fa¸con ´el´ementaire les m´ethodes qui seront d´evelopp´ees par la suite pour des mod`eles plus complexes. 0.4 Mod`ele `a un pas - deux ´etats Dans ce mod`ele on suppose qu’il n’y a que deux dates, aujourd’hui et l’´ech´eance (N = 1), et que le cours SN de l’actif S `a l’´ech´eance ne peut prendre que deux valeurs S+ ou S-. On note S0 le cours de l’actif S aujourd’hui. Outre la possibilit´e d’investir sur l’actif S, un agent ?nancier peut aussi emprunter ou placer de l’argent au taux r. On veut calculer le prix et la couverture d’une option d’´ech´eance N et de fonction de paiement f de la forme f = g(SN ) (s’il s’agit d’une option d’achat europ´eenne g(x) = (x - K)+). Pour faire face `a son engagement, le vendeur de l’option va investir sur le march´e ?nancier. Il va acheter une quantit´e ? (`a d´eterminer) d’actif S, et aussi ß unit´es mon´etaires : si ß est n´egatif, cela correspond `a un emprunt au taux r, si ß est positif, cela correspond `a un placement r´emun´er´e au (mˆeme) taux r. On dit que le vendeur de l’option se constitue un portefeuille ? = (ß, ?), compos´e de ß unit´es mon´etaires et ? actifs S. La valeur de son portefeuille aujourd’hui est X0 = ß + ?S0. Demain, elle sera XN = ß(1 + r) N + ?SN (on rappelle que N = 1 dans ce paragraphe). Pour que le vendeur puisse honorer son contrat, il faut que la valeur de son portefeuille au temps N soit sup´erieure `a la fonction de paiement, c’est-`a-dire : XN = g(SN ). Imaginons que dans le cas SN = S+ ou SN = S-, la valeur du portefeuille soit strictement sup´erieure `a la valeur de la fonction de paiement g(SN ). Alors le vendeur aurait l’opportunit´e de gagner de l’argent avec une probabilit´e strictement positive, sans prendre de risque. Une telle opportunit´e, s’appelle une opportunit´e d’arbitrage en ?nance. On consid`ere que cela est impossible (march´e ´equilibr´e) ; on dit que l’on fait l’hypoth`ese ”d’absence d’opportunit´e d’arbitrage”. En cons´equence, on doit avoir XN = g(SN ), donc (ß, ?) est l’uniqueCHAPITRE 0. INTRODUCTION 14 solution du syst`eme d’´equations ß(1 + r) N + ?S+ = g(S+) ß(1 + r) N + ?S- = g(S-). Cette solution est donn´ee par ? = g(S+) - g(S-) S+ - S- (1) et ß = (1 + r) -N g(S-)S+ - g(S+)S- S+ - S- . La formule (1) est commun´ement appel´ee ”formule du delta de couverture”. Le portefeuille ? ainsi constitu´e par le vendeur, a une valeur initiale X0 = ß+?S0. Cette valeur correspond au coˆut du contrat. Le prix ´equitable C de l’option (la prime) sera donc C = ß + ?S0. —————— En r´esum´e : au temps t = 0, l’acheteur verse C = ß + ?S0 au vendeur. Avec cette prime, le vendeur se constitue un portefeuille compos´e de ? actifs S et ß unit´es mon´etaires. Au temps N, soit l’actif vaut S+, et alors le vendeur verse g(S+) `a l’acheteur, soit l’actif vaut S-, auquel cas le vendeur verse g(S-) `a l’acheteur. • Exercice : D´eterminez le prix d’une option d’achat europ´eenne et son portefeuille de couverture (ß, ?), lorsque S0 = 100, K = 95, r = 0, S+ = 110 et S- = 90 (corrig´e `a la ?n du chapitre). Remarque fondamentale : Le prix de l’option que l’on vient de calculer, ainsi que la composition (ß, ?) du portefeuille de couverture ne d´ependent pas de la probabilit´e que l’actif S prenne la valeur S+ ou S- !?! Pourquoi ? Car on a cherch´e `a se couvrir dans tous les cas et non pas en moyenne. Si on veut ˆetre couvert dans tous les cas, peu importe que la probabilit´e de hausse soit sup´erieure ou non `a celle de baisse, puisque notre couverture doit marcher dans les deux cas. Nous n’avons donc e?ectu´e aucun raisonnement de type probabiliste (`a la di?´erence de la couverture par diversi?cation). Cependant, on peut interpr´eter le prix de l’option comme l’esp´erance de gain de son acheteur, non pas sous la probabilit´e r´eelle (dont on a vu qu’elle n’intervenait pas), mais sous une autre probabilit´e (arti?cielle) appel´ee probabilit´e risque-neutre. Cette remarque est la clef de voˆute des m´ethodes de couverture d’options d´evelopp´ees par la suite.CHAPITRE 0. INTRODUCTION 15 Examinons cela de plus pr`es dans le cas d’une option d’achat europ´eenne. Notons P * la probabilit´e, dite risque-neutre, d´e?nie par P * (SN = S+) = p * := (1 + r) N S0 - S- S+ - S- et P * (SN = S-) = 1 - p * = S+ - (1 + r) N S0 S+ - S- . Pour que P * soit bien une probabilit´e, on supposera que S- < S0(1 + r) N < S+ (cette condition correspond `a une condition d’absence d’opportunit´e d’arbitrage). La probabilit´e P * a ´et´e choisie de telle sorte que S0 = E * (1 + r) -N SN . En e?et, E * (1 + r) -N SN = (1 + r) -N S+p * + (1 + r) -N S-(1 - p * ) = (1 + r) -N S+((1 + r) N S0 - S-) + (1 + r) -N S-(S+ - (1 + r) N S0) S+ - S- = S0. On appelle valeur r´eactualis´ee de Sn la quantit´e (1 + r) -n Sn. Elle correspond au nombre d’unit´es mon´etaires qu’il est possible d’acheter avec un actif S au temps n. La probabilit´e P * a donc ´et´e choisie de telle sorte que l’´evolution de la valeur r´eactualis´ee de l’actif S n’ait pas de tendance `a la hausse ou `a la baisse en moyenne. Nous g´en´eraliserons cette approche ult´erieurement par la th´eorie des martingales. Relions le prix C de l’option `a la probabilit´e P * . Pour une option d’achat europ´eenne, la fonction de paiement est g(SN ) = (SN - K)+. Si S- < K < S+ on a g(S+) = S+ - K et g(S-) = 0, donc le prix de l’option est C = ß + ?S0 = -(1 + r) -N (S+ - K)S- S+ - S- + S+ - K S+ - S- S0 = (S+ - K)(S0 - (1 + r) -N S-) S+ - S- . (2) Calculons maintenant la valeur moyenne de la fonction de paiement r´eactualis´ee (1 + r) -N (SN - K)+ sous la probabilit´e P * E * (1 + r) -N (SN - K)+ = p * (1 + r) -N (S+ - K) = (S+ - K)(S0 - (1 + r) -N S-) S+ - S- . (3) En comparant (2) et (3), on voit que le prix C de l’option est ´egal `a la valeur moyenne sous la probabilit´e risque-neutre P * de la fonction de paiement r´eactualis´ee : C = E * (1 + r) -N (SN - K)+ . Nous g´en´eraliserons cette formule dans les chapitres 4, 5 et 8. ——————CHAPITRE 0. INTRODUCTION 16 Corrig´e de l’exercice On a C = (S+ - K)(S0 - (1 + r) -N S-) S+ - S- = 15 × 10/20 = 7.5 ? = S+ - K S+ - S- = 15/20 = 0.75 ß = - (S+ - K)S- S+ - S- = -15 × 90/20 = -67.5 La valeur de ß est n´egative, cela correspond `a un emprunt. En r´esum´e, la banque touche la prime de 7.5 et emprunte 67.5. Avec ces 7.5 + 67.5 = 75 elle ach`ete 0.75 actif S. A l’´ech´eance : – Si SN = S+ = 110. La banque vend son 0.75 actif S ce qui lui rapporte 0.75 × 110 = 82.5. Avec cet argent, elle rembourse son emprunt de 67.5. Elle dispose donc de 82.5 - 67.5 = 15, ce qui est exactement la somme n´ecessaire pour verser 110 - 95 = 15 `a l’acheteur. – Si SN = S- = 90. En vendant son 0.75 actif S, la banque r´ecup`ere 0.75 × 90 = 67.5 ce qui lui permet de rembourser son emprunt. Elle ne doit rien `a l’acheteur (le prix du march´e est inf´erieur au prix d’exercice).Chapitre 1 Esp´erance conditionnelle Objectif : L’objectif de ce chapitre est de formaliser la notion d’esp´erance conditionnelle, sachant une information I. —————— L’esp´erance conditionnelle d’une variable al´eatoire X sachant une information I est ”la valeur moyenne attendue pour X lorsque l’on connait l’information I.” Par exemple, lan¸cons deux d´es `a 6 faces et regardons la somme S des deux valeurs obtenues. Notons X1 la valeur obtenue avec le premier d´e et X2 celle obtenue avec le second d´e, ainsi S = X1 +X2. Avant de lancer le premier d´e, on ne dispose d’aucune information sur S, donc la valeur moyenne attendue pour S est simplement E(S) = E(X1) + E(X2) = 7. Apr`es le lancer du premier d´e, on connait la valeur de X1. Avec cette information, on s’attend `a avoir en moyenne pour S X1 + E(X2) = X1 + 7/2. Cette derni`ere quantit´e est ce que l’on appelle l’esp´erance conditionnelle de S sachant X1, elle est not´ee E(S | X1). L’objet de ce chapitre est de formaliser cette notion et de fournir les outils qui permettent de calculer les esp´erances conditionnelles. Nous allons commencer par quelques rappels sur le conditionnement par un ´ev´enement, avant de d´e?nir l’esp´erance conditionnelle dans les cadres discret et `a densit´e. Ensuite nous donnerons une caract´erisation de l’esp´erance conditionnelle, puis les propri´et´es qui permettent de calculer cette quantit´e e?cacement. —————— Notations : Dans ce chapitre et les suivants ? repr´esente l’univers des possibles, F d´esigne l’ensemble de tous les ´ev´enements possibles et P(A) est la probabilit´e qu’un ´ev´enement A ? F ait lieu. 17CHAPITRE 1. ESPERANCE CONDITIONNELLE ´ 18 1.1 Conditionnement par rapport `a un ´ev´enement Nous rappelons dans ce paragraphe la notion de conditionnement par rapport `a un ´ev´enement. Rappel : Soit B un ´ev´enement de probabilit´e P(B) > 0. La probabilit´e conditionnelle d’un ´ev´enement A sachant l’´ev´enement B est P(A | B) := P(A n B) P(B) . Cette quantit´e repr´esente ”la probabilit´e que l’´ev´enement A ait lieu, sachant que l’´ev´enement B a lieu.” Remarque : Si l’´ev´enement A est ind´ependant 1 de l’´ev´enement B alors P(A | B) := P(A n B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A). Cette ´egalit´e traduit que la r´ealisation de l’´ev´enement B n’apporte pas d’information sur la probabilit´e que se r´ealise l’´ev´enement A. —————— Soit X : ? ? X une variable al´eatoire `a valeurs dans un sous-ensemble ?ni X = {x1, . . . , xm} de R. A partir de ` P(· | B) on peut d´e?nir l’esp´erance conditionnelle de X sachant l’´ev´enement B par E (X | B) := X x?X x P(X = x | B). (1.1) Cette quantit´e est un nombre r´eel. Elle repr´esente ”la valeur moyenne attendue pour X sachant que l’´ev´enement B a lieu.” Exemples : 1. lan¸cons un d´e `a 6 faces, et notons X la valeur prise par ce d´e. Si B est l’´ev´enement ”X est sup´erieur ou ´egal `a trois”, alors la valeur moyenne attendue pour X sachant B est E(X | B) = P6 i=1 i P(X = i | B). Comme P(B) = 2/3, il vient P(X = i | B) = 3 2 P({X = i} n B) = 0 si i = 1 ou 2 3/2 × 1/6 = 1/4 sinon. Finalement, E(X | B) = 1 4 (3 + 4 + 5 + 6) = 9/2. 1 voir l’annexe A pour un rappel de cette notionCHAPITRE 1. ESPERANCE CONDITIONNELLE ´ 19 2. Reprenons l’exemple de l’introduction de ce chapitre avec les deux d´es. Consid´erons l’´ev´enement B := {X1 = 5}. Comme les ´ev´enements {X2 = i - 5} et {X1 = 5} sont ind´ependants (car X1 et X2 sont ind´ependants) on a P(S = i | X1 = 5) = P(X2 = i - 5 | X1 = 5) = P(X2 = i - 5). On en d´eduit que P(S = i | X1 = 5) = 1/6 si i ? {6, . . . , 11} 0 sinon. Finalement, on obtient E(S | X1 = 5) = X12 i=2 i P(S = i | X1 = 5) = (6 + . . . + 11)/6 = 5 + 7/2. Plus g´en´eralement, pour j ? {1, . . . , 6} on trouve E(S | X1 = j) = j + 7/2. —————— Dans la suite, nous n’allons plus consid´erer le conditionnement par rapport `a un ´ev´enement mais par rapport `a une ou plusieurs variables al´eatoires. L’esp´erance conditionnelle ne sera alors plus un nombre r´eel comme dans ce paragraphe, mais une variable al´eatoire. Nous commen¸cons par le cas le plus simple o`u toutes les variables al´eatoires prennent un nombre ?ni de valeurs. 1.2 Le cas discret 1.2.1 Conditionnement par rapport `a une variable al´eatoire Commen¸cons par nous forger une intuition de cette notion sur un exemple. • Exemple. Imaginons un jeu en 2 ´etapes : premi`ere ´etape on lance un d´e et on appelle Z la valeur obtenue. Deuxi`eme ´etape, on relance Z fois le d´e et on multiplie entres elles les Z valeurs obtenues. On appelle X ce produit. On sait calculer E(X | Z = 5). Si Z(?) = 5, on relance 5 fois le d´e de mani`ere ind´ependante, donc E(X | Z = 5) = E(Z1 · · · Z5) = E(Z1) · · · E(Z5) o`u Z1, . . . , Z5 sont les 5 valeurs obtenues lors des 5 lancers de d´e. On trouve ?nalement E(X | Z = 5) = m × · · · × m = m5 , o`u m = 1 6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7/2 est la valeur moyenne obtenue pour un lancer. Plus g´en´eralement, si i ? {1, . . . , 6}, on a E(X | Z = i) = mi . Autrement dit, lorsqu’on connait la valeur de Z, on s’attend `a avoirCHAPITRE 1. ESPERANCE CONDITIONNELLE ´ 20 en moyenne pour X la valeur mZ . Dans ce cas l’esp´erance conditionnelle de X sachant Z sera E(X | Z) := mZ . L’esp´erance conditionnelle E(X | Z) est donc une variable al´eatoire. Elle est telle que, si Z(?) = i, alors E(X | Z)(?) = E(X | Z = i). —————— Nous allons maintenant g´en´eraliser cette notion `a deux variables al´eatoires quelconques X : ? ? X et Z : ? ? Z, o`u X = {x1, . . . , xm} et Z = {z1, . . . , zn} sont deux sousensembles ?nis de R. D´e?nition - Esp´erance conditionnelle de X sachant Z - L’esp´erance conditionnelle de X sachant Z, not´ee E(X | Z), est une variable al´eatoire, d´e?nie par E(X | Z) : ? ? R ? 7? h(Z(?)), o`u h : Z ? R est la fonction d´e?nie par h(z) = E(X | Z = z) quel que soit z ? Z. La quantit´e E(X | Z = z) est celle d´e?nie par (1.1) avec B = {Z = z}. Attention ! E(X | Z = z) est un nombre r´eel, mais E(X | Z) est bien une variable al´eatoire. En e?et, E(X | Z)(?) d´epend de ? car la valeur que prend Z(?) d´epend de ?. • Exemple. Soit Z une variable al´eatoire uniforme sur {1, . . . , n} (c’est-`a-dire telle que P(Z = i) = 1/n pour i = 1, . . . , n) et e une variable al´eatoire ind´ependante de Z, telle que P (e = 1) = p et P (e = -1) = 1 - p. On pose X = eZ qui est une variable al´eatoire prenant ses valeurs dans {-n, . . . , n}. Nous allons calculer E (X | Z). Pour j ? {1, . . . , n}, on a E (X | Z = j) = Xn i=-n i P (X = i | Z = j) avec P (X = i | Z = j) = 0 si i /? {-j, j} car X = ±Z. Il reste donc E (X | Z = j) = -j P (X = -j | Z = j) + j P (X = j | Z = j) = -j P (e = -1 | Z = j) + j P (e = 1 | Z = j) . Les variables al´eatoires e et Z ´etant ind´ependantes, les ´ev´enements {e = -1} et {Z = j} le sont aussi, donc P (e = -1 | Z = j) = P (e = -1) = 1 - pCHAPITRE 1. ESPERANCE CONDITIONNELLE ´ 21 et de mˆeme P (e = 1 | Z = j) = P (e = 1) = p. Finalement, on obtient E (X | Z = j) = -j(1 - p) + jp = j(2p - 1) et E (X | Z) = (2p - 1)Z. • Exo : V´eri?ez que l’on peut ´ecrire E (X | Z) sous la forme : E (X | Z) (?) = X z?Z 1{Z(?)=z}E (X | Z = z) = X z?Z 1{Z(?)=z} X x?X x P (X = x | Z = z) . 1.2.2 Conditionnement par plusieurs variables al´eatoires Consid´erons n + 1 variables al´eatoires X : ? ? X , Z1 : ? ? Z1, . . . Zn : ? ? Zn. avec X = {x1, . . . , xm} et Z1 = {z1,1, . . . , zk1,1}, . . . , Zn = {z1,n, . . . , zkn,n} des sousensembles ?nis de R. Nous allons ´etendre la d´e?nition pr´ec´edente au cas `a plusieurs variables. Pour tout z1 ? Z1, . . . , zn ? Zn, la formule (1.1) donne E (X | Z1 = z1, . . . , Zn = zn) = X x?X x P (X = x | Z1 = z1, . . . , Zn = zn) . Cette quantit´e est un nombre r´eel. D´e?nition - Esp´erance conditionnelle de X sachant Z1, . . . , Zn - On appelle esp´erance conditionnelle de X sachant Z1, . . . , Zn la variable al´eatoire E(X | Z1, . . . , Zn) d´e?nie par E (X | Z1, . . . , Zn) (?) := h(Z1(?), . . . , Zn(?)), o`u h : Z1 × · · · × Zn ? R est la fonction `a n variables d´e?nie par h(z1, . . . , zn) = E (X | Z1 = z1, . . . , Zn = zn) , pour tout z1 ? Z1, . . . , zn ? Zn. En pratique, on n’utilise jamais cette formule pour calculer l’esp´erance conditionnelle E(X | Z1, . . . , Zn). Il est en g´en´eral bien plus e?cace d’utiliser les propri´et´es que nous verrons au paragraphe 1.4.2.CHAPITRE 1. ESPERANCE CONDITIONNELLE ´ 22 1.3 Cadre `a densit´e Rappel : Deux variables al´eatoires X : ? ? R et Z : ? ? R, poss`edent une densit´e jointe (par rapport `a la mesure de Lebesgue) s’il existe une fonction f(X,Z) : R × R ? R + telle que pour tout domaine (mesurable) D ? plan, P (X, Z) ? D = Z D f(X,Z)(x, z) dx dz . Dans ce cas, on retrouve les densit´es marginales de X et Z par les formules fX(x) = Z z?R f(X,Z)(x, z) dz et fZ (z) = Z x?R f(X,Z)(x, z) dx . Lorsque l’on a des variables avec une densit´e jointe, les probabilit´es P(X = x) ou P(Z = z) sont nulles, ce qui pose une di?cult´e pour d´e?nir la quantit´e P (X = x | Z = z) repr´esentant ”la probabilit´e que X = x sachant que Z = z.” Pour contourner cette di?cult´e, nous allons introduire la densit´e conditionnelle fX(x | Z = z) d´e?nie par fX (x | Z = z) := f(X,Z)(x, z) fZ (z) avec la convention 0/0 = 0 et avec fZ (z) = R x?R f(X,Z)(x, z) dx d’apr`es le rappel pr´ec´edent. Remarquez que seul le terme au num´erateur d´epend de x. Le terme au d´enominateur est une constante de normalisation qui assure que Z x?R fX(x | Z = z) dx = 1 lorsque fZ (z) = 0 6 . Comment interpr´eter cette quantit´e ? Tout comme la densit´e fX(x) repr´esente la probabilit´e que la variable al´eatoire X appartienne `a un petit voisinage 2 de x, la densit´e conditionnelle fX(x | Z = z) repr´esente la probabilit´e que la variable al´eatoire X appartienne `a un petit voisinage de x sachant que Z appartient `a un petit voisinage de z. 2Voir les rappels en annexe