CONTRIBUTIONS A L'ETUDE MATHEMATIQUE DE QUELQUES MODELES ISSUS DE LA PHYSIQUE STATISTIQUE HORS EQUILIBRE

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UNIVERSITE DE VERSAILLES SAINT-QUENTIN DEP ARTEMENT DE MATHEMA  TIQUES CONTRIBUTIONS A L'ETUDE  MATHEMA  TIQUE DE QUELQUES MODELES  ISSUS DE LA PHYSIQUE STATISTIQUE HORS EQUILIBRE  Stephane MISCHLER Document de synthese presente le 12 DECEMBRE  2001 au Departement de Mathematiques de l'Universite de Versailles Saint-Quentin en vue de l'obtention du dipl^ome d'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMA  TIQUES devant le jury compose de MM. Pierre DEGOND Laurent DESVILLETTES Francois GOLSE Otared KAVIAN Beno^t PERTHAME Jean-Pierre PUEL Mario PULVIRENTI J.J.L. VELAZQUEZ Rapporteur President Presentateur RapporteurHABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMA  TIQUES CONTRIBUTIONS A L'ETUDE  MATHEMA  TIQUE DE QUELQUES MODELES  ISSUS DE LA PHYSIQUE STATISTIQUE HORS EQUILIBRE  Stephane MISCHLER LABORATOIRE DE MATHEMA  TIQUES APPLIQUEES  UNIVERSITE DE VERSAILLES SAINT-QUENTIN et CNRS - UMR 7641 BATIMENT ^ FERMAT 45, AVENUE DES ET ATS-UNIS 78035 VERSAILLES, FRANCE Email: mischler@math.uvsq.frMais la vache savait nager nous dit Otared (cela sera repete a Manolo)Remerciements L'essentiel des travaux presentes dans ce document de synthese a ete realise depuis que je suis ma^tre de conferences au Departement de Mathematiques de l'Universite de Versailles a partir de 1996. Je remercie donc le Departement de Mathematiques et le Laboratoire de Mathematiques Appliquees de Universite de Versailles pour leur accueil. Je remercie egalement le DMA de l'Ecole Normale Superieure de Paris qui m'a heberge durant mon annee de delegation au CNRS en 2000-2001. Mes remerciements vont aussi aux TMR eu- ropeens "Equations cinetiques et applications" et "Equations hyperboliques" et au CNRS pour l'organisation de rencontres scienti ques et pour leur soutien nancier, ainsi qu'aux Universites qui m'ont invite ces dernieres annees (en particulier, celle de Bilbao). Je tiens a remercier en tout premier lieu Beno^t Perthame qui a guide mes premiers pas dans la recherche. Son in uence sur ma conception des mathematiques (necessairement ap- pliquees) a ete decisive. A ses c^otes, j'ai pu apprecier son immense curiosite, son enthousiasme et sa grande exigence dans ses choix de sujets de recherche. Je le remercie pour l'attention qu'il a toujours portee a mes travaux, pour son soutien sans faille, pour sa gentillesse et sa generosite. C'est avec un grand plaisir que j'ai de nouveau collabore avec lui cette derniere annee. Je remercie tres sincerement Mario Pulvirenti pour avoir accepte de rapporter sur cette Habilitation et pour le soin et la rapidite avec lesquels il s'est acquitte de cette t^ache. Pour les m^emes raisons je remercie Pierre Degond, et je le remercie aussi pour m'avoir fait decouvrir les tres belles mathematiques des modeles cinetiques collisionnels. Je remercie egalement Laurent Desvillettes, Francois Golse, Otared Kavian et Jean-Pierre Puel pour les discussions et collaborations que nous avons pu avoir et pour avoir accepte de faire partie du jury. Je remercie tout particulierement J.J.L. Velazquez qui a e ectue un voyage eclair Madrid-Paris-Madrid pour participer a ce jury et au contact duquel j'ai pu decouvrir une autre mathematique. Je ne voudrais pas manquer l'occasion qui m'est o erte ici pour exprimer toute ma recon- naissance et mon amitie a Miguel Escobedo et a Philippe Laurencot qui ont ete, ces dernieres annees, mes collaborateurs privilegies. Je ne tenterai pas d'etablir une liste des collegues avec qui j'ai pu echanger, et qui ont contribue a ma formation (permanente) scienti que. Je souhaite les remercier ici. Mes pensees vont tout specialement aux personnels administratifs, aux enseignants et aux chercheurs de l'Universite de Versailles et de l'Ecole Normale Superieure, en particulier a Marie-France Thai et Benedicte Au ray, et a mes collaborateurs Manuel del Valle, Thierry Horsin, Antoine Mellet, Alexis Vasseur et Bernt Wennberg.Table des matieres Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chapitre A: Analyse theorique et numerique de l'equation de Boltzmann A.1. L'equation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A.2. Theorie de stabilite/existence pour le probleme de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 A.3. Inegalite de Povzner, conservation de l'energie et unicite pour l'equation de Boltzmann homogene. 17 A.4. Analyse Numerique de l'equation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chapitre B: Equations  cinetiques posees dans un domaine B.1. Conditions de re exions sur la paroi du domaine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 B.2. Theoremes de trace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 B.3. Unicite et Semi-groupe pour l'equation de Vlasov lineaire. . . . . . . . . . . . . . . . . 37 B.4. Convergence renormalisee et stabilite faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 B.5. La condition de re exion de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chapitre C: Equation  de Boltzmann pour un gaz de particules Quantiques et/ou Relativistes C.1. Gaz constitue d'une seule espece de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 C.2. Gaz constitue de deux especes de particules dont l'une est a l'equilibre. . . . . . . . . . . . 51 Chapitre D: Equations  de Coagulation-Fragmentation D.1. Presentation des equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 D.2. Theoremes d'existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 D.3. Liens entre modeles discrets et continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 D.4. Conservation de la masse et phenomene de geli cation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 D.5. Comportement asymptotique en temps grand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Publications de l'auteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99- Introduction - Les equations de la physique statistique hors equilibre permettent de modeliser l'evolution au cours du temps d'un systeme (physique) constitue d'un grand nombre d'objets. Plus precisement, nous nous interesserons ici a des equations qui proviennent de deux domaines distincts: les equations de la theorie cinetique des gaz (equations de Boltzmann, de Vlasov-Poisson, de Fokker- Planck) qui servent a decrire l'evolution de gaz de particules en mouvement d'une part, et les equations dites de coagulation-fragmentation (equations de Smoluchowski, de Becker-Doring, de Lifshitz-Slyozov) qui servent a decrire l'evolution de la taille d'agglomerats d'autre part. Desormais dans cette introduction, on nommera simplement "particules" les objets constituant notre systeme. Dans tous les cas, ces particules sont supposees ^etre correctement decrites par leur etat  2 . Dans un cadre homogene en espace (les particules sont uniformement reparties dans l'espace), cet etat peut donc ^etre une vitesse ou impulsion (v ou p 2 R d ou Z d ), une energie (k = E(p) 2 R+) pour les modeles cinetiques, et une taille (y 2 R+ ou N) pour les modeles de coagulation-fragmentation. Dans un modele plus realiste, l'etat  prendra aussi en compte la position x 2  R d de la particule. On considere alors que notre systeme est completement decrit par la connaissance de la densite (ou fonction de repartition) f(t; )  0 des particules ayant l'etat  2  a l'instant t  0. Partant d'un etat initial fin, la dynamique au cours du temps de la densite f(t; :) est donnee par une certaine equation (d'evolution). D'une maniere generale, les di erents problemes que l'on se pose dans l'analyse de ces modeles sont les suivants: 1. Description qualitative formelle: recherche des quantites conservees (lois de conservations) et des quantites decroissantes au cours du temps (entropie ou fonction de Lyapunov). 2. Probleme stationnaire: description des solutions stationnaires, identi cation des etats qui minimisent l'entropie a quantites conservees xees et de ceux qui annulent la dissipation d'entropie. 3. Probleme bien pose: existence et unicite des solutions et dependance continue par rapport aux parametres (notamment par rapport a la donnee initiale). 4. Etude  qualitative rigoureuse: preuve de la conservation (ou de la non-conservation!) des quantites identi ees en 1, preuve du Theoreme-H, etude de la stricte positivite de la densite, de sa regularite, etude du comportement asymptotique en temps grand des solutions, et plus precisement pour les equations de type Boltzmann et Smoluchowski, preuve de la converge vers l'etat d'equilibre identi e en 2. 5. Analyse numerique: recherche d'algorithmes rapides et robustes (si possible ayant les m^emes proprietes qualitatives que les solutions du probleme continu) permettant un calcul approche des solutions et preuve de la convergence de ces schemas. 6. Modelisation: passage rigoureux (en faisant tendre un "petit" parametre vers 0) entre di erents modeles decrivant notre systeme. Par exemple, limite de type Fokker-Planck ou limite hydrodynamique (permettant de passer d'une description microscopique a une description macro- scopique du systeme). Ce document presente une synthese des principaux resultats obtenus par l'auteur (certains etant le fruit d'un travail en collaboration). L'ensemble des travaux est rassemble dans un document annexe (accessible aussi sur le site oueb http://www.math.uvsq.fr/~mischler/HDR). 1Nous avons regroupe les resultats dans quatre parties selon quatre themes uni cateurs que nous presentons maintenant. Chaque partie se termine par une liste (de longueur inegale) de problemes ouverts. Partie A. Cette partie est consacree a l'equation de Boltzmann et aux resultats obtenus dans les articles [260], [261], [263], [276]. Nous y demontrons la convergence de plusieurs schemas semi- discrets (en espace, en temps, en vitesse) de l'equation de Boltzmann. En particulier, ces travaux conjugues aux resultats posterieurs de Bobylev, Palczewski et Schneider permettent de valider rigoureusement le passage des modeles de Boltzmann a repartition discrete de vitesses au modele continu. Un des points fondamentaux dans ces travaux est de demontrer des versions "discretes" des lemmes de compacite des moyennes en vitesse des suites de solutions d'une equation cinetique. Pour l'equation de Boltzmann homogene nous demontrons de nouveaux theoremes d'existence, de conservation de l'energie et d'unicite optimaux. Nous etablissons et utilisons pour ce faire un resultat de regularite pour le terme de gain itere et des versions "precisees" du lemme de Povzner. Partie B. Dans cette partie on s'interesse aux equations cinetiques posees dans un domaine et nous y decrivons les articles [265], [266], [268], [277]. Nous etablissons des theoremes de trace pour les solutions d'equations de Vlasov-Fokker-Planck avec champs de force de regularite Sobolev. La trace est de nie a l'aide d'une formule de Green renormalisee. Ces resultats peuvent ^etre compris comme des extensions "jusqu'au bord" de la theorie de renormalisation des solutions des equations de transport de DiPerna et Lions. Une premiere application est l'obtention de theoremes d'unicite pour des equations de Vlasov lineaires pour diverses conditions de re exions. Une deuxieme application est l'obtention d'un resultat de compacite tres faible (au sens de la convergence renormalisee) pour les traces de solutions d'equations cinetiques telles que les equations de Vlasov-Poisson, Boltzmann et Fokker-Planck. En n pour des conditions de re exion non locales, en particulier pour les conditions de re exion de Maxwell, nous etablissons le premier theoreme d'existence avec conditions aux limites satisfaites (non relaxees!). Ce dernier resultat necessite de coupler la convergence renormalisee, obtenue gr^ace aux theoremes de trace, a des resultats de convergence au sens biting L 1 faible et a l'information de Darrozes-Guiraud. Partie C. Cette partie est consacree aux equations de Boltzmann en mecanique quantique, et en particulier a ces equations pour les gaz de Bosons. Nous y detaillons les resultats obtenus dans [264], [267], [271], [275]. Une etude generale (dans un cadre quantique et relativiste) du probleme de minimisation de l'entropie et de parametrisation du noyau integral y est presentee. Le travail le plus important concerne une analyse assez complete d'une version simple (quadratique) mais "realiste" de l'equation de Boltzmann-Bose (probleme stationnaire, probleme bien pose, etude qual- itative et comportement asymptotique, validation de la limite de Kompaneets). En particulier nous etablissons pour ce modele qu'aucun condensat de Bose-Einstein ne se forme en temps ni, mais qu'il appara^t asymptotiquement en temps grand si la masse de la donnee initiale est susamment grande. Nous etudions aussi la rapidite de cette converge. La diculte technique principale est le peu de borne a priori donnee par l'entropie et la necessite de travailler dans un cadre mesures. Partie D. Cette derniere partie concerne l'etude de divers modeles de coagulation et frag- mentation et presente les travaux [269], [270], [272], [273], [274]. Nous etablissons une serie de resultats d'existence pour des modeles homogenes et non homogenes ainsi qu'un resultat general de retour vers l'etat d'equilibre via des techniques de compacites faible et forte dans L 1 . Ces techniques permettent aussi de valider le passage de modeles discrets a continus d'equations de coagulation-fragmentation, ainsi qu'a obtenir les equations de Lifshitz-Slyozov comme modele limite des equations de Becker-Doring. En n, nous montrons que lorsque le processus de coagu- lation est assez fort, la conservation de la masse est perdue en temps ni (c'est le phenomene de geli cation), et nous analysons le pro l des solutions autour de l'instant de geli cation. 2Terminons cette introduction par quelques considerations sur les methodes utilisees. Trois methodes sont particulierement recurrentes dans l'ensemble de nos travaux.  Compacites faible et forte dans L 1 et theoremes de stabilite. On peut distinguer trois etapes: - Collection de bornes a priori impliquant que les solutiosn et que les termes de collisions (ou reactions) appartiennent a un compact faible L 1 . En general, ces bornes se deduisent immediatem- ent des conservations et du Theoreme-H, mais peuvent egalement necessiter un peu plus de travail. - Obtention de compacite forte sur les quantites moyennees par rapport a la variable de vitesse ou de taille. Ce sont les di erentes versions du lemme de compacite des moyennes en vitesse pour les equations cinetiques et leur analogue (dont la preuve est beaucoup plus simple) sur les moyennes en taille pour les equations de coagulation-fragmentation. Des methodes d'eclatement des variables sont mises en uvre pour conclure dans certains cas. - Passage a la limite pour une suite de solutions. Cela est parfois delicat: techniques de renormalisation et de derenormalisation de DiPerna-Lions, utilisation de convergences tres faibles (au sens biting L 1 faible et renormalisee) pour les suites des traces (pour lesquelles la convergence faible L 1 n'est pas etablie). Les applications du resultat de stabilite sont multiples: existence, continuite (faible et forte) par rapport aux parametres, convergence asymptotique en temps grand, convergence de schemas numeriques, liens entre di erents modeles (limite Fokker-Planck, passage du discret au continu). A noter toutefois, que parfois, les bornes a priori ne permettent pas de mettre en uvre une methode de stabilite et une methode "directe" est necessaire (cela est vrai pour l'equation de Boltzmann des gaz de Bosons).  Methodes de moments. Elles consistent, en choisissant de bons multiplicateurs, a etablir des bornes sur les moments (en vitesse ou en taille) des solutions. Ces informations supplementaires sur les moments (accessibles essentiellement pour les modeles homogenes en espace) permettent de demontrer la conservation de l'energie (equation de Boltzmann) et de la masse (equation de Smolu- chowski), de l'unicite (equation de Boltzmann) ainsi que d'identi er l'etat d'equilibre vers lequel la solution converge asymptotiquement en temps grand. En n, elles permettent d'apprehender le phenomene de geli cation pour l'equation de Smoluchowski.  Methodes de convexite. La convexite joue un r^ole central dans nombre des problemes mentionnes ci-dessus. La plupart des bornes a priori sont obtenues a l'aide d'arguments de convexite, simples (a partir de l'entropie) ou plus subtils (dissipation d'entropie, information de Darrozes-Guiraud, lemme de Povzner). 3- Chapitre A - Analyse Theorique et Numerique de l'equation de Boltzmann A.1. L'equation de Boltzmann L'equation de Boltzmann (ou Maxwell-Boltzmann) a ete introduite par J.C. Maxwell [182] et L. Boltzmann [41] comme modele decrivant l'evolution d'un gaz peu dense dont les particules interagissent uniquement par collisions binaires. Considerons un gaz constitue d'un grand nombre (de l'ordre du nombre d'Avogadro (610 23 )) de particules identiques, indiscernables, non relativistes, non quantiques et ayant pour seul degre de liberte des mouvements de translation. Si ce gaz est con ne dans un domaine  R 3 et observe sur un intervalle de temps [0; T ] (ou [0;1)) alors chaque particule est caracterisee par sa vitesse v 2 R 3 et sa position x 2 a l'instant t  0. Ce systeme de particules est parfaitement decrit par la fonction de distribution f(t; x; v)  0 dans l'espace des phases R 3 : f(t; x; v) dxdv represente le nombre de particules dans un volume dxdv autour de (x; v) a l'instant t. L'hypothese minimale et naturelle sur f est que f(t; :; :) est une mesure bornee sur D  R 3 pour toute partie bornee D de traduisant le fait qu'un domaine borne de l'espace contient une masse nie de matiere. Si les particules n'interagissent pas entre elles et ne sont soumises a aucune force exterieure, alors leur trajectoire est donnee par la solution de l'equation de Newton x_ = v; v_ = 0. En terme de densite, l'equation donnant l'evolution du gaz est l'equation de transport libre (A:1) @ @t f + v  rxf = 0 (0;1)   R 3 : La solution en est f(t; x; v) = f(0; x vt; v), de sorte que (A:2) f ] (t; x; v) := f(t; x + v t; v) = f(0; x; v); ce qui traduit le fait que f est constante le long des trajectoires des particules (ou caracteristiques). Supposons maintenant que les particules interagissent par collisions binaires elastiques. Cela signi e que seules les collisions entre deux particules sont considerees (jamais entre trois ou da- vantage) et qu'au cours du choc la quantite de mouvement et l'energie cinetique (de la paire de particules) est conservee. Si l'on designe par v 0 , v 0  les vitesses avant collision, et par v, v les vitesses apres collision, on a donc (A:3) ( v 0 + v 0  = v + v; jv 0 j 2 + jv 0  j 2 = jvj 2 + jvj 2 : On note C la sous variete de R 43 des 4-uplets (v; v; v 0 ; v 0  ) de vitesses satisfaisant (A.3). Dans ces conditions, la densite f n'est plus constante le long des caracteristiques et l'equation (A.1) doit ^etre modi ee a n de prendre en compte les collisions entre particules. Maxwell et Boltzmann proposent le modele suivant pour l'evolution de la densite f: (A:4) @ @t f + v  rxf = Q(f; f) (0;1)   R 3 ; 4