Éléments de mathématiques financières

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ATELIER 3 Académie de Grenoble JdI Première STG Juin 2005 P. DOLLÉ, C. MAZENS, D. PONCET, M. TURIAS-SALA, P. VIGUIER-JUST Page 1/6 Éléments de mathématiques financières I) Les intérêts simples Les intérêts sont dits intérêts simples lorsqu’ils ne deviennent pas eux même productifs d’intérêts. Formules : in = C × t × n in : montant des intérêts au bout de n périodes. Can = C + in ou bien Can = C (1 + t × n) Can = capital acquis au bout de n périodes. n = in C × t ou bien n = Can - C C × t n : nombre de périodes. C = in t × n ou bien C = Can 1 + t × n C : capital placé. t = in C × n ou bien t = Can - C C × n t : taux d’intérêt par période. Exemple : 50 000 € placés pendant 5 ans à un taux de 6 % d’intérêts simples. Capital au bout des 5 ans : 50 000 + 50 000 × 0,06 × 5 = 65 000 €. Liens avec le programme de mathématiques : Première – suites arithmétiques. II) Les intérêts composés – Valeur acquise Les intérêts sont dits intérêts composés lorsqu’ils s’ajoutent en fin de chaque période au capital, et qu’ils produisent alors eux même des intérêts au cours de la période suivante. Formules : Can = C × (1 + t) n Can = capital acquis au bout de n années. n n t Ca C 1( + ) = C : capital placé. 1 /1 ? - ? ? ? ? ? = n n C Ca t t : taux d’intérêt annuel. n : durée du placement en années. Si l’on donne un taux mensuel de t1 %, cela correspond à un taux annuel t = (1 + t1) 12 - 1. Si la période de capitalisation est inférieure à 1 an, alors t est le taux par période et n le nombre de périodes. Exemples : a. 50 000 € placés pendant 5 ans à un taux de 6 % d’intérêts composés. Capital au bout des 5 ans (valeur acquise) : 50 000 × (1 + 0,06) 5 ˜ 66 911,28 €. b. 50 000 € placés pendant 3 mois à un taux annuel de 6 % d’intérêts composés. 3 mois = 0,25 an d’où : Capital au bout des 3 mois : 50 000 × (1 + 0,06) 0,25 ˜ 50 733,69 €. c. 50 000 € placés pendant 3 mois à un taux mensuel de 0,6 % d’intérêts composés. Capital au bout des 3 mois : 50 000 × (1 + 0,006) 3 ˜ 50 905,41 €. Ou bien : t = (1 + 0,006) 12 - 1 ˜ 7,4424168 %. D’où : Capital au bout des 3 mois ˜ 50 000 × (1 + 0,074424168) 0,25 ˜ 50 733,69 €. Liens avec le programme de mathématiques : Première – suites géométriques. ATELIER 3 Académie de Grenoble JdI Première STG Juin 2005 P. DOLLÉ, C. MAZENS, D. PONCET, M. TURIAS-SALA, P. VIGUIER-JUST Page 2/6 III)Les suites d’anuités constantes. Les annuités constantes sont des sommes versées tous les ans. Pour la constitution d’un capital les annuités sont versées en début d’année. Pour le remboursement d’une dette les annuités sont versées en fin d’année. Chaque annuité génère sur la durée de son placement des intérêts calculés selon la méthode des intérêts composés. Formules : a : montant de l’annuité. n : nombre d’années. t : taux annuel des intérêts. Vf : valeur finale du placement. Annuités placées en début d’année Annuités placées en fin d’année Le placement de la 1 re année rapporte a × (1 + t) n Le placement de la 1 re année rapporte a × (1 + t) n-1 Le placement de la 2 e année rapporte a × (1 + t) n-1 Le placement de la 2 e année rapporte a × (1 + t) n-2 Le placement de la 3 e année rapporte a × (1 + t) n-2 Le placement de la 3 e année rapporte a × (1 + t) n-3 . . . et ainsi de suite. . . . et ainsi de suite Pour faire la liaison avec le cas d’annuités placées en fin d’année, chaque placement peut être considéré comme placé une année supplémentaire. ? ? ? ? ? ? - + - × + = × ? ? ? ? ? ? + - = × + 1 1( ) 1 1( ) 1( ) 1 1 t t t a t t Vf a n n da ? ? ? ? ? ? - + - = × 1 1( ) 1 t t Vf a n fa Si le placement est effectué selon une autre périodicité que l’année, alors : a : devient le montant du placement à chaque période. n : devient le nombre de versements effectués. tp : taux des intérêts par période qui doit se substituer à t dans les formules. m : nombre de périodes dans une année. tp = (1 + t) 1/m - 1 et t = (1 + tp) m - 1 Exemples : a. En fin de chaque année, on place 2 000 € à un taux annuel de 6 % pendant 15 ans. Montant du capital au bout des 15 ans ˜ 2 000 × (1 + 0,06) 15 - 1 0,06 ˜ 46 551,93 €. b. Au 1 er de chaque mois on place 50 € sur un livret d’épargne dont la rémunération est de 2,25 % par an. Il y a 12 périodes de 1 mois par an donc ; tp = (1 + 0,025) 1/12 - 1 = 0,206 % En 3 ans il y a 36 périodes de 1 mois. Capital au bout des 3 ans ˜ 50 × ? ? ? ? ? (1 + 0,00206) ? 36+1 - 1 0,00206 - 1 ˜ 1 870,28 €. Liens avec le programme de mathématiques : Terminale – suites géométriques. IV)L’actualisation. IV. 1) L’actualisation d’une somme. Actualiser une somme à payer à une date à venir, c’est calculer le montant qu’il faudrait placer aujourd’hui à un taux d’intérêts (composés), le taux d’actualisation, qui permettrait d’obtenir la même somme à l’échéance du placement. ATELIER 3 Académie de Grenoble JdI Première STG Juin 2005 P. DOLLÉ, C. MAZENS, D. PONCET, M. TURIAS-SALA, P. VIGUIER-JUST Page 3/6 Formules : S = n A× 1( + t) S : somme à actualiser. n t S A 1( + ) = A : valeur actuelle. t : taux d’actualisation. n : nombre d’années du placement. Exemple : Actualiser la somme de 50 000 € sur 5 ans à un taux de 3 %. A = 50000 (1 + 0,03) 5 ˜ 43 130,44 €. Liens avec le programme de mathématiques : Première – suites géométriques. IV. 2) L’actualisation d’une suite d’annuités constantes. Actualiser une suite d’annuités constantes, c’est calculer le montant qu’il faudrait payer aujourd’hui en une seule fois, pour remplacer une suite d’annuités à payer. Formules : t t A a -n - + = × 1 1( ) pour une suite d’annuités placées en fin de période 1( ) 1 1( ) t t t A a n × + - + = × - pour une suite d’annuités placées en début de période A : valeur actuelle de la suite d’annuités a : montant de l’annuité. n : nombre d’années. t : taux annuel des intérêts. Exemple : On désire remplacer un placement de 2 000 € au 1 er janvier, pendant 15 ans à 6 %, par un seul placement donnant la même somme au bout des 15 ans. Capital à placer : 2 000 × 1 - (1 + 0,06) -15 0,06 × (1 + 0,06) ˜ 20 589,97 €. Liens avec le programme de mathématiques : Terminale – suites géométriques. V) Les remboursements d’emprunts. La somme mise à disposition d’un emprunteur est appelée capital. L’emprunteur doit alors rembourser (on dit amortir), le capital et les intérêts. V. 1) L’amortissement in fine. L’amortissement in fine consiste à rembourser le capital à l’échéance du prêt. Les intérêts peuvent être payés périodiquement ou bien à l’échéance du prêt. Ce type de prêt s’applique sur des durées courtes et les intérêts sont calculés selon la méthode des intérêts simples (ex : prêt relais). ATELIER 3 Académie de Grenoble JdI Première STG Juin 2005 P. DOLLÉ, C. MAZENS, D. PONCET, M. TURIAS-SALA, P. VIGUIER-JUST Page 4/6 V. 2) L’amortissement constant. L’amortissement constant consiste à rembourser à chaque échéance une même partie du capital. Les intérêts payés à chaque échéance sont calculés sur le capital non remboursé pendant la période. Exemple : 80 000 € empruntés sur 8 annuités à un taux de 5 %. Part du capital à rembourser chaque année : 80 000 ÷ 8 = 10 000 €. La 1 ère année : Les intérêts sont sur les 80 000 € empruntés, soit 80 000 × 0,05 = 4 000 €. Montant de la 1 ère annuité : 10 000 + 4 000 = 14 000 €. La 2 e année : Les intérêts sont sur les 70 000 € restants, soit 70 000 × 0,05 = 3 500 €. Montant de la 1 ère annuité : 10 000 + 3 500 = 13 500 €. Et ainsi de suite. On réalise ainsi un tableau d’amortissement : échéance capital remboursé intérêts total de l'échéance capital restant dû 1 10000 4000 14000 70000 2 10000 3500 13500 60000 3 10000 3000 13000 50000 4 10000 2500 12500 40000 5 10000 2000 12000 30000 6 10000 1500 11500 20000 7 10000 1000 11000 10000 8 10000 500 10500 0 total 80000 18000 98000 Liens avec le programme de mathématiques : Terminale – suites arithmétiques. V. 3) L’amortissement à échéances constantes. L’amortissement à échéances constantes consiste à rembourser la même somme à chaque échéance. Formules : n p p t t a c - - + = × 1 1( ) a : montant de l’annuité constante. tp = (1 + t) 1/m - 1 tp : taux d’intérêt par période. t : taux d’intérêt annuel. m : nombre de périodes dans une année. C : capital emprunté. n : nombre de périodes. Exemple : 80 000 € sur 8 ans à un taux annuel de 5 %. Si l’échéance est à chaque année, alors : a = 80 000 × 0,05 1 - (1 + 0,05) -8 ˜ 12 377,75 €. ATELIER 3 Académie de Grenoble JdI Première STG Juin 2005 P. DOLLÉ, C. MAZENS, D. PONCET, M. TURIAS-SALA, P. VIGUIER-JUST Page 5/6 On réalise ainsi un tableau d’amortissement : échéance total de l'échéance intérêts capital remboursé capital restant dû 1 12377,75 4000 8377,745 71622,255 2 12377,75 3581,11 8796,63 62825,62 3 12377,75 3141,28 9236,46 53589,16 4 12377,75 2679,46 9698,29 43890,87 5 12377,75 2194,54 10183,20 33707,67 6 12377,75 1685,38 10692,36 23015,31 7 12377,75 1150,77 11226,98 11788,33 8 12377,75 589,42 11788,33 0,00 total 99021,96 19021,96 80000,00 Si l’échéance est à chaque mois, alors il y a 12 mois par an soit 96 mois sur les 8 ans. tp = (1 + 0,05) 1/12 - 1 ˜ 0,004074 a ˜ 80 000 × 0,004074 1 - (1 + 0,004074) -96 ˜ 1 008,56 €. Liens avec le programme de mathématiques : Terminale – suites géométriques. Les deux parties suivantes sont données pour information. La notion d’escompte ne fait pas l’objet d’un développement dans le programme de mathématiques du cycle terminal STG. VI)Escompte. L’escompte est l’opération qui consiste pour le propriétaire d’une créance à la céder à un tiers (souvent une banque) avant l’échéance de paiement. Le tiers déduit alors de la valeur nominale inscrite sur la créance, des agios composés de : la rémunération (intérêts simples) de l’argent entre la date d’acquisition et l’échéance de la créance ; des frais bancaires. La somme restante après déduction de la rémunération est appelée la valeur actuelle. La somme restante après déduction des agios est appelée la valeur nette. VI. 1) L’escompte commercial. On parle d’escompte commercial lorsque l’intérêt de la rémunération est calculé sur la valeur nominale Formules : 365 N t n e × × = e : montant de l’intérêt de l’escompte. A = N - e ou bien 365 365 t n A N - × = × A : valeur actuelle. N = A + e ou bien t n A N - × × = 365 365 N : valeur nominale. N n N A t × - × = ( ) 365 t : taux de l’escompte. ATELIER 3 Académie de Grenoble JdI Première STG Juin 2005 P. DOLLÉ, C. MAZENS, D. PONCET, M. TURIAS-SALA, P. VIGUIER-JUST Page 6/6 N t N A n × - × = ( ) 365 n : nombre de jours entre la date d’acquisition et l’échéance de la créance (on ne compte pas le 1 er jour, mais on compte le dernier jour). Exemple : Soit une créance de 45 000 € à une échéance de 58 jours et un taux de 13 %. e = 45000 × 0,13 × 58 365 ˜ 929,59 € A ˜ 45 000 - 929,59 ˜ 44 070,41 €. Sans compter de frais d’escompte, la banque peut donc racheter cette créance pour un montant de 44 070,41 €. VI. 2) L’escompte rationnel. On parle d’escompte rationnel lorsque l’intérêt de la rémunération est calculé sur la somme effectivement perçue par le vendeur de la créance. Formules : 365 A t n e × × = e : montant de l’intérêt de l’escompte. A = N - e ou bien t n N A + × × = 365 365 A : valeur actuelle. N = A + e ou bien 365 365 t n N A + × = × N : valeur nominale. A n N A t × - × = ( ) 365 t : taux de l’escompte. A t N A n × - × = ( ) 365 n : nombre de jours entre la date d’acquisition et l’échéance de la créance. Exemple : Soit une créance de 45 000 € à une échéance de 58 jours et un taux de 13 %. A = 45000 × 365 365 + 0,13 × 58 ˜ 44 089,23 €. Sans compter de frais d’escompte, la banque rachète cette créance pour un montant de 44 089,23 €. VII) Équivalence. Deux créances sont équivalentes à une date donnée lorsque, escomptées au même taux, elles ont la même valeur actuelle à cette date. Cela permet de modifier la date de paiement d’une créance. Exemple : Une créance de N1 = 52 000 € à n1 = 45 jours doit être remplacée par une créance équivalente à n2 = 75 jours. Le taux d’escompte est t = 12 %. On veut calculer la valeur nominale N2 de la nouvelle créance. e1 = 365 1 1 N × t × n = 52000 × 0,12 × 45 365 ˜ 769,32 € A1 = N1 - e1 ˜ 52 000 - 769,32 ˜ 51 230,68 €. A1 = A2 ˜ 51 230,68 €. N2 = 2 2 365 365 t n A - × × ˜ 365 × 51230,68 365 - 0,12 × 75 ˜ 52 525,83 €. La créance de 52 000 € à 45 jours est remplacée par une créance équivalente de 52 525,83 € à 75 jours.