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MATHEMATIQUES FINANCIERES SANS LARMES Nicolas Bouleau CIRED, oct 2005 La question que nous abordons est de savoir si l’engouement pour les math´ematiques ?nanci`eres est une mode parmi les chercheurs et les jeunes scienti?ques induite par le libéralisme dominant et par l’in?uence progressive des march´es ?nanciers sur les d´ecisions de toutes sortes, ou bien si, au contraire (ou non obstant ces in?uences) il existe une articulation r ´eelle entre certains concepts math´ematiques et la pratique ?nanci`ere. Nous montrons qu’en effet l’´evaluation et la gestion des contrats `a terme sur des grandeurs ?uctuantes comme les actions ou les devises recueillent une compr ´ehension nouvelle gr ˆace `a des outils math´ematiques relativement r ´ecents et construits ind´ependamment. Nous tentons ici de pr ´esenter cet accrochage le plus simplement possible. Plan I. DE BACHELIER A BLACK-SCHOLES II. LA COUVERTURE DES OPTIONS : UNE NOUVELLE LOGIQUE DE GESTION DES RISQUES III. TROIS TYPES DE SPECULATION 1I. DE BACHELIER A BLACK-SCHOLES • Les martingales des joueurs doublement de la mise, etc. • Les id´ees de Louis Bachelier (1900) “la bourse ne croˆit ni `a la hausse ni `a la baisse” l’actif mod´elisé par un mouvement brownien • Les martingales des math´ematiciens processus ayant la propri´et ´e du centre de gravit ´e transitivit ´e de cette propri´et ´e thm d’arr ˆet de Doob • Le mouvement brownien Brown (XIXe si`ecle) Einstein et Smoluchovski (1906) Norbert Wiener, années 1925-1930 Kyosi Ito, années 1945-1960• L’int ´egrale stochastique comme b´en´e?ce du trader (cas du mod`ele de Bachelier mais c’est tr `es g´en´eral) l’actif est Bt instant 0 instant 1 b´en´e?ce• L’int ´egrale stochastique comme b´en´e?ce du trader (cas du mod`ele de Bachelier mais c’est tr `es g´en´eral) l’actif est Bt instant 0 instant 1 b´en´e?ce achat d’une unit ´e vente d’une unit ´e B1 - B0• L’int ´egrale stochastique comme b´en´e?ce du trader (cas du mod`ele de Bachelier mais c’est tr `es g´en´eral) l’actif est Bt instant 0 instant 1 b´en´e?ce achat d’une unit ´e vente d’une unit ´e B1 - B0 achat de f(0) unit ´es vente de f(0) unit ´es f(0)(B1 - B0)• L’int ´egrale stochastique comme b´en´e?ce du trader (cas du mod`ele de Bachelier mais c’est tr `es g´en´eral) l’actif est Bt instant 0 instant 1 b´en´e?ce achat d’une unit ´e vente d’une unit ´e B1 - B0 achat de f(0) unit ´es vente de f(0) unit ´es f(0)(B1 - B0) instant 0 achats et ventes vente ?nale b´en´e?ce• L’int ´egrale stochastique comme b´en´e?ce du trader (cas du mod`ele de Bachelier mais c’est tr `es g´en´eral) l’actif est Bt instant 0 instant 1 b´en´e?ce achat d’une unit ´e vente d’une unit ´e B1 - B0 achat de f(0) unit ´es vente de f(0) unit ´es f(0)(B1 - B0) instant 0 achats et ventes vente ?nale b´en´e?ce achat de f(0) f(tn) sur (tn, tn+1) n f(tn)(Btn+1 - Btn )• L’int ´egrale stochastique comme b´en´e?ce du trader f(0) 0 T f(t) b ´en´e?ce = n f(tn)(Btn+1 - Btn ) = T 0 f(t) dBt• L’int ´egrale stochastique comme b´en´e?ce du trader f(0) 0 T f(t) b ´en´e?ce = T 0 f(t) dBt (int ´egrale de Wiener(1930)) int ´egrale de Wiener =/ int ´egrale de Riemann =/ int ´egrale de Lebesgue• L’int ´egrale stochastique d’Ito (1950-...) f d ´eterministe ? f al´eatoire adapt ´ee (= non-anticipante) dBt ? dSt o `u St est une “semi-martingale” processus tr `es g´en´eraux qui v ´eri?ent un calcul diff ´erentiel particulier le calcul d’Ito Formule d’Ito F (Bt ) = F (0) + t 0 F (Bs) dBs + 1 2 t 0 F (Bs) ds F (St ) = F (0) + t 0 F (Ss) dSs + 1 2 t 0 F (Ss) d < S, S >s• Mod`eles d’actifs - mod`ele de Black-Scholes (1973) La semi-martingale est donn´ee par dSt = sSt dBt + µSt dt solution explicite : St = S0e sBt+(µ- s 2 2 )t - mod`eles de diffusion - mod`eles markoviens avec sauts - mod`eles non markoviensR ´esumé de la 1 `ere partie Si le cours de l’actif `a l’instant t est St le b´en´e?ce du trader qui a constitu´e un portefeuille avec f(t) actifs durant l’intervalle 0 = t = T puis l’a vendu `a l’instant T est toujours T 0 f(t) dSt ici f(t) est une fonction al´eatoire quelconque non-anticipante St est un processus tr `es g´en´eral (semi-martingale) T 0 f(t, ?) dSt (?) (dans cette partie on a pris un taux d’actualisation ´egale `a 1 pour simpli?er)II. LA COUVERTURE DES OPTIONS : UNE NOUVELLE LOGIQUE DE GESTION DES RISQUES • Les travaux de Bachelier, de Wiener et d’Ito furent ignor ´es • Options et produits d´eriv ´es - option - option d’achat ou call - exemple du jus d’orange - 1ere question : le prix d’une option ? - 2eme question : gestion d’une option ?• March´es organisés - Chicago Board of Trade (1848) (c ´er ´eales) - Chicago Mercantile Exchange (1874) - Paris 1884 options sur le sucre - LIFFE Londres 1982 - SIMEX singapour 1984 - TIFFE Tokyo 1985 - MATIF Paris 1986 - DTB Francfort 1990 - en 2000 Paris+Amsterdam+Bruxelles = EURONEXT - en 2002 EURONEXT ach`ete le LIFFE et la BVLP (Portugal) Pourquoi un tel d´eveloppement ?• March´es organisés - Chicago Board of Trade (1848) (c ´er ´eales) - Chicago Mercantile Exchange (1874) - Paris 1884 options sur le sucre - LIFFE Londres 1982 - SIMEX singapour 1984 - TIFFE Tokyo 1985 - MATIF Paris 1986 - DTB Francfort 1990 - en 2000 Paris+Amsterdam+Bruxelles = EURONEXT - en 2002 EURONEXT ach`ete le LIFFE et la BVLP (Portugal) Pourquoi un tel d´eveloppement ? A cause des nouvelles id´ees sur la couverture des risques ?nanciers :Si le cours de l’actif `a l’instant t est St et si une grandeur al´eatoire H peut s’´ecrire H = k + T 0 h(t) dSt alors l’avantage de disposer de H a` l’instant T a un juste prix aujourd’hui et ce prix est k. par exemple pour un call H = (ST - K) ? 0 (not ´e aussi (ST - K)+ )Si le cours de l’actif `a l’instant t est St et si une grandeur al´eatoire H peut s’´ecrire H = k + T 0 h(t) dSt alors l’avantage de disposer de H a` l’instant T a un juste prix aujourd’hui et ce prix est k. par exemple pour un call H = (ST - K) ? 0 (not ´e aussi (ST - K)+ ) C’est le raisonnement par absence d’arbitrageSi le cours de l’actif `a l’instant t est St et si une grandeur al´eatoire H peut s’´ecrire H = k + T 0 h(t) dSt alors l’avantage de disposer de H a` l’instant T a un juste prix aujourd’hui et ce prix est k. par exemple pour un call H = (ST - K) ? 0 (not ´e aussi (ST - K)+ ) C’est le raisonnement par absence d’arbitrage • Mise en oeuvre concr ˆete - cas Black-Scholes : un seul paramˆetre intervient : la volatilit´e s agitation de l’actif St Tout actif conditionnel, toute option europ´eenne, am´ericaine, exotique, etc. H est de la forme H = k + T 0 h(t) dSt le march´e est dit complet. les formules sont explicites pour trouver k et h(t) à partir de H on n’a qu’`a r ´esoudre une ´equation diff ´erentielle elliptique en dimension 2.• Mise en oeuvre concr ˆete - cas Black-Scholes : un seul paramˆetre intervient : la volatilit´e s agitation de l’actif St Tout actif conditionnel, toute option europ´eenne, am´ericaine, exotique, etc. H est de la forme H = k + T 0 h(t) dSt le march´e est dit complet. les formules sont explicites pour trouver k et h(t) à partir de H on n’a qu’`a r ´esoudre une ´equation diff ´erentielle elliptique en dimension 2. • Pour les mod`eles o `u St est une diffusion les résultats sont similaires seuls les calculs sont un peu plus lourds • Pour d’autres mod`eles (avec sauts ou à volatilit ´e stochastique) le march´e est incomplet et la couverture de certaines options laissent un risque r ´esiduel.• meilleure estim´ee rationnelle et principe de couverture methode classique ici c’est different d’evaluation d’un actif l’option est une assurance IE[H] mais elle est geree ou IE[H|Ft ] client par client• meilleure estim´ee rationnelle et principe de couverture methode classique ici c’est different d’evaluation d’un actif l’option est une assurance IE[H] mais elle est geree ou IE[H|Ft ] client par client rationalite d’experts rationalite de marche (agences d’evaluation) domaine public• meilleure estim´ee rationnelle et principe de couverture methode classique ici c’est different d’evaluation d’un actif l’option est une assurance IE[H] mais elle est geree ou IE[H|Ft ] client par client rationalite d’experts rationalite de marche (agences d’evaluation) domaine public “les fondamentaux “les prix sont ceux du marche” sont la realite economique “les interprétations de sous jacente”. politique economique “Les marches sont capricieux” sont subjectives”III.TROIS TYPES DE SPECULATION • La sp´eculation ´economique = prise de position `a terme ? echange de risque : cas d’une r ´ ´ ecolte vendue au printempsIII.TROIS TYPES DE SPECULATION • La sp´eculation ´economique = prise de position `a terme ? echange de risque : cas d’une r ´ ´ ecolte vendue au printemps • La sp´eculation psychologiqueIII.TROIS TYPES DE SPECULATION • La sp´eculation ´economique = prise de position `a terme ? echange de risque : cas d’une r ´ ´ ecolte vendue au printemps • La sp´eculation psychologique • La sp´eculation math´ematiqueAn Elementary Introduction to Mathematical Finance: Options and Other Topics by Sheldon M Ross - 2002 - Cambridge University Press Option Pricing: A Simplified Approach JC Cox, SA Ross, M Rubinstein - Journal of Financial Economics, 1979 http://scholar.google.com/url?sa=U&q=http://www.math.ucalgary.ca/~ware/jc/crr.pdf Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance D Lamberton, B. Lapeyre - 1996 - CRC Press Théorie des risques financiers: portefeuilles, options et risques majeurs JP Bouchaud, M Potters - 1997 - Commissariat a l'energie atomique Introduction to mathematical finance: discrete time models SR Pliska - 1997 - Blackwell The Concepts and Practice of Mathematical Finance by Mark S Joshi - 2003 - Cambridge University Press Financial Markets and Martingales: Observations on Science and Speculation N Bouleau, - 2004 - Springer